EDB — 1P1

[1P1] Prerequisiti:[1P0]↺↻.Difficoltà:*.

Presa una curva \(𝛾:I→ℝ^ n\) definiamo nel seguito \(\hat I=\{ t∈ℝ:-t∈ I\} \) e \(\hat𝛾:\hat I→ℝ^ n\) tramite \(\hat𝛾(t)=𝛾(-t)\).

Vogliamo mostrare che, in certe ipotesi, due curve hanno lo stesso sostegno se e solo se sono equivalenti.

• Siano \(𝛾,𝛿:[0,1]→ℝ^ n\) curve semplici, ma non chiuse, e con lo stesso sostegno. Mostrate che se \(𝛾(0)=𝛿(t)\) allora \(t=0\) oppure \(t=1\). Nel caso \(𝛾(0)=𝛿(0)\), mostrate che \(𝛾∼𝛿\). Se invece \(𝛾(0)=𝛿(1)\) allora \(\hat𝛾∼𝛿\).

• Siano \(𝛾,𝛿:[0,1]→ℝ^ n\) curve semplici e immerse, ma non chiuse, e con lo stesso sostegno, e sia \(𝛾(0)=𝛿(0)\): mostrate che \(𝛾≈𝛿\). Se invece \(𝛾(0)=𝛿(1)\) allora \(\hat𝛾≈𝛿\).

(Per il caso di curve chiuse si veda [1PT]↺↻)