EDB — 1V2

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E14

[1V2]Argomenti:matrice,determinante.Difficoltà:*.

Dimostrate la formula di Jacobi:

\[ \frac{d}{d a_{i,j}} \det (A) = C_{i,j}\quad , \]

dove \(a_{i,j}\) è l’elemento di \(A\) in riga \(i\) e colonna \(j\), e \(C\) è la matrice dei cofattori di \(A\), che è la trasposta della matrice aggiunta \({\operatorname {adj}}(A)\). Conseguentemente, se \(F:ℝ→ℂ^{n × n}\) è differenziabile, allora

\[ {\frac{d}{dt}}\det F(t)={\operatorname {tr}}\left({\operatorname {adj}}(F(t))\, {\frac{dF(t)}{dt}}\right) \]

dove \({\operatorname {tr}}(X)\) è la traccia di \(X\).

Sugg. usate lo sviluppo di Laplace per il determinante.

Soluzione 1

[1V3]

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  • Jacobi
  • Jacobi , see formula di Jacobi
  • formula, di Jacobi
  • matrice, dei cofattori
  • matrice, aggiunta
  • determinante , see matrice, determinante
  • matrice, determinante
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