EDB — 1V4

[1V4]Argomenti:matrice,determinante.Prerequisiti:[1V2]↺↻.Difficoltà:*.

Vogliamo generalizzare i risultati del precedente esercizio [1V0]↺↻ al caso di matrici \(n× n\).

Ricordiamo le seguenti proprietà del determinante delle matrici \(A∈ℝ^{n× n}\).

• Il rango è la dimensione dell’immagine di \(A\) (vista come applicazione lineare da \(ℝ^ n\) a \(ℝ^ n\)) ed è anche il massimo numero di colonne linearmente indipendenti in \(A\).

• \(A\) ha rango \(n\) se e solo \(\det (A)≠ 0\).

• Se si scambiano due colonne in \(A\), il determinante cambia di segno;

• se si somma a una colonna un multiplo di un altra colonna il determinante non cambia.

• La caratterizzazione del rango tramite i minori, «Il rango di A è pari al massimo ordine di un minore invertibile di A».

• lo sviluppo di Laplace del determinante, e la formula di Jacobi (cf [1V2]↺↻).

• Il determinante di \(A\) è uguale al determinante della trasposta; dunque ogni risultato precedente vale se si legge “riga” invece di “colonna”.

Si vedano anche [ 68 , 59 ] .

Mostrate i seguenti risultati.

1. Mostrate che il gradiente della funzione \(\det (A)\) è nonnullo se e solo se il rango di \(A\) è almeno \(n-1\).

2. Sia \(Z\) l’insieme delle matrici \(ℝ^{n× n}\) con determinante nullo; mostrate che è un chiuso con parte interna vuota.

3. Sia \(B\) una matrice fissata di rango al più \(n-2\), mostrate che la tesi del teorema è falsa negli intorni \(U_ B\) della matrice \(B\), nel senso che \(Z∩ U_ B\) non è contenuto in una superfice ¹ .

[[1V5]↺↻]