EDB — 1X9

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4 Numeri naturali[1X9]

Vogliamo propriamente definire l’insieme

\[ {\mathbb N}=\{ 0,1,2,\ldots \} \]

dei numeri naturali.

Un possibile modello, come mostrato in Sez. [246], è ottenuto appoggiandosi alla teoria di Zermelo—Fraenkel.

Qui invece presentiamo gli assiomi di Peano, espressi usando la versione intuitiva della teoria degli insiemi.

Definizione 295 Assiomi di Peano

[1XB]

Dai precedenti seguono subito due importanti proprietà. Uno è il principio di induzione, si veda [1XC]. L’altro è lasciato per esercizio.

Esercizio 296

[1YP]

L’idea è che la funzione successore codifica gli usuali numeri secondo lo schema

\[ 1=S(0),\quad 2=S(1), \quad 3=S(2)\ldots \]

e (avendo definito l’addizione) si avrà che \(S(n)=n+1\).

Esercizio 297

[1XD]

4.1 Induzione

[27J]

4.2 Definizione per ricorrenza

[274]

4.3 Aritmetica

[0NN]

4.4 Ordinamento

[27K]

4.5 Compatibilità Z-F e Peano

[26F]

4.6 Induzione generalizzata, buon ordinamento

[27M]

4.7 Frequentemente, definitivamente

[26G]

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