4.5 Compatibilità Z-F e Peano[26F]
Torniamo ora al modello \(ℕ_\text {ZF}\) di \(ℕ\) costruito appoggiandosi alla teoria di Zermelo—Fraenkel, visto in Sez. [246]. Vogliamo vedere che questo modello soddisfa gli assiomi di Peano.
Ricordiamo che, dato \(x\) (qualunque, non necessariamente numero naturale) si definisce il successore come
\[ S(x) {\stackrel{.}{=}}x∪ \{ x\} \quad . \]
È facile vedere che N1 e N3 sono vere. La proprietà N5 segue dal fatto che \(ℕ_\text {ZF}\) è il più piccolo insieme S-saturo. N2 e N4 derivano da [1YM].
Abbiamo inoltre visto nel Teorema [24D] che la relazione \(⊆\) soddisfa i requisiti delle Ipotesi [26H].