EDB — 1Y1

view in whole PDF view in whole HTML

View

Italian

Definizione 52

[1Y1] L’assioma dell’insieme potenza dice che per ogni insieme \(A\), esiste un insieme \(\mathcal{P}(A)\) i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di \(A\). Una formula abbreviata di definizione è

\[ {\mathcal P}(A){\stackrel{.}{=}}\bigl\{ B:\ B⊆ A\bigr\} \quad . \]

\(\mathcal{P}(A)\) si chiama anche insieme delle parti.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l’assioma si scrive:

\[ ∀ A, ∃\; Z, ∀ y , y ∈ Z \iff (∀ z, z ∈ y \implies z ∈ A)\quad ; \]

questa formula comporta che l’insieme potenza \(Z\) è unico, dunque possiamo denotarlo con il simbolo \( {\mathcal{P}(A)}\) senza tema di equivoci.

Notate che

\[ (∀ z, z ∈ y \implies z ∈ A) \]

si può abbreviare con \(y⊆ A\) e dunque l’assioma può essere scritto come

\[ ∀ A, ∃\; Z, ∀ y , y ∈ Z \iff ( y ⊆ A)\quad ; \]

usando poi l’estensionalità, si ottiene che

\[ Z=\{ y: ( y ⊆ A)\} \quad . \]

Download PDF
Bibliography
Book index
  • assioma, dell'insieme potenza
  • insieme, potenza
  • potenza , see also insieme potenza
  • teoria, formale degli insiemi
Managing blob in: Multiple languages
This content is available in: Italian English