Definizione
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[1Y1] L’assioma dell’insieme potenza dice che per ogni insieme \(A\), esiste un insieme \(\mathcal{P}(A)\) i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di \(A\). Una formula abbreviata di definizione è
\[ {\mathcal P}(A){\stackrel{.}{=}}\bigl\{ B:\ B⊆ A\bigr\} \quad . \]
\(\mathcal{P}(A)\) si chiama anche insieme delle parti.
Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l’assioma si scrive:
\[ ∀ A, ∃\; Z, ∀ y , y ∈ Z \iff (∀ z, z ∈ y \implies z ∈ A)\quad ; \]
questa formula comporta che l’insieme potenza \(Z\) è unico, dunque possiamo denotarlo con il simbolo \( {\mathcal{P}(A)}\) senza tema di equivoci.
Notate che
\[ (∀ z, z ∈ y \implies z ∈ A) \]
si può abbreviare con \(y⊆ A\) e dunque l’assioma può essere scritto come
\[ ∀ A, ∃\; Z, ∀ y , y ∈ Z \iff ( y ⊆ A)\quad ; \]
usando poi l’estensionalità, si ottiene che
\[ Z=\{ y: ( y ⊆ A)\} \quad . \]