Proposizione
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Supponiamo che la funzione \(f:A× A→ B\) sia invariante per la relazione d’equivalenza \(∼\) in tutte le sue variabili, cioè
\[ ∀ x,y,v,w∈ A, \quad x ∼ y∧ v∼ w⇒ f(x,v)=f(y,w)\quad ; \]sia \(\tilde f\) la proiezione al quoziente \(\widetilde f:\frac A∼× \frac A∼→ B\) che soddisfa
\[ f(x,y)=\widetilde f(𝜋(x),𝜋(y))\quad . \]Se \(f\) è commutativa (risp. associativa) allora \(\widetilde f\) è commutativa (risp. associativa).
Se \(R\) è una relazione in \(A× A\) invariante per \(∼\), e \(R\) è riflessiva (risp simmetrica, antisimmetrica, transitiva) allora \(\widetilde R\) è riflessiva (risp simmetrica, antisimmetrica, transitiva).
Se \(A\) e \(B\) sono ordinati e l’ordinamento è invariante, e \(f\) è monotona, allora \(\widetilde f\) è monotona.