Proof
Se \(𝛼{\lt}1\), preso \(L∈(𝛼,1)\) si ha definitivamente \(\sqrt[n]{|a_{n}|}{\lt}L\) dunque vi è un \(N\) per cui \(|a_ n|≤ L^{N-n}\) per ogni \(n≥ N\) e si conclude per confronto con la serie geometrica.
Per le due serie \(1/n\) e \(1/n^ 2\) si ha \(𝛼=1\).
Se \(𝛼{\gt}1\) si ha frequentemente \(\sqrt[n]{|a_{n}|}{\gt}1\) dunque \(|a_ n|{\gt}1\), in contrasto con il criterio necessario.