Teorema
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[21F] Siano \(\{ a_{n}\} \) e \(\{ b_{n}\} \) due successioni. Se \( b_{n}\) tende monotonamente a \(0\) e se la serie delle somme parziali di \(a_ n\) è limitata, cioè se
\[ b_{n}≥ b_{n+1} {\gt}0\quad ,\quad \lim _{n→∞ } b_{n} = 0 \quad ,\quad ∃ M{\gt}0,~ ∀ N∈ℕ~ , \left|∑ _{n=1}^{N}a_{n}\right|{\lt}M\quad , \]
allora la serie
\[ ∑ _{n=1}^{+∞ }{a_{n}b_{n}} \]
è convergente.
La dimostrazione è lasciata come esercizio (sugg. si usi [21H])
Soluzione
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