EDB — 2F7

[2F7]Prerequisiti:[0M3]↺↻,[0M5]↺↻,[0M7]↺↻.

Siano ora, più in generale, \(I\) un’insieme non vuoto di indici, e siano \((X_ i,\tau _ i)\) spazi topologici , al variare di \(i\in I\); siano \({\mathcal B}_ i\) basi per \(\tau _ i\). (La scelta \({\mathcal B}_ i=\tau _ i\) è ammissibile).

Sia \(X=∏_{i\in I} X_ i\) il prodotto cartesiano.

Definiamo la topologia prodotto \(𝜏\) su \(X\), similmente a [0M3]↺↻, ma con una differenza.

Una base \({\mathcal B}\) per \(\tau \) è data dalla famiglia di tutti gli insieme della forma \(A=∏_{i\in I} A_ i\) dove

e inoltre \(A_ i= X_ i\) eccetto eventualmente un numero finito di \(i\).

Dimostrate che \({\mathcal B}\) soddisfa i requisiti visti in [0KX]↺↻, dunque è una base per la topologia \(\tau \) che essa genera. Dimostrate che la topologia prodotto \(\tau \) non dipende dalla scelta delle basi \({\mathcal B}_ i\).