EDB — 2F9

[2F9]Prerequisiti:[2F5]↺↻,[2F7]↺↻,[071]↺↻,[2F7]↺↻.

Si considerino insiemi totalmente ordinati \((X_ i,≤_ i)\) (con almeno due elementi), e le associate topologia d’ordine \(𝜏_ i\).

Sia \(I=ℕ\) o \(I=\{ 0,1,\ldots N\} \) ; definiamo \(X=∏_{i∈ I} X_ i\) il prodotto cartesiano.

Si considerino queste due topologie.

• Definiamo la topologia prodotto \(𝜏\) su \(X\), come definito in [2F7]↺↻.

• Dotiamo \(X\) dell’ ordine lessicografico \(⪯\), e poi della topologia d’ordine \(𝜎\). (Si rivedano [071]↺↻,[2F7]↺↻)

Quale relazione di inclusione si ha fra \(𝜎\) e \(𝜏\)?

Se ciascun \(X_ i\) è finito, dimostrate che queste due topologie coincidono  ¹ .