Esercizio
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[0BQ] Fissiamo una successione \(a_ n\) a valori reali; consideriamo ora la definizione in [20F] ponendo \(I=β\) e \(x_ 0=β\), in modo che gli intorni di \(x_ 0\) siano gli insiemi contenenti \([n,β)=\{ mββ:mβ₯ n\} \); con questi presupposti mostrate che si ha
\begin{align} \limsup _{nβ β} a_ n =& \inf _ n \sup _{mβ₯ n} a_ n= \lim _{nββ} \sup _{mβ₯ n} a_ n~ ~ , \nonumber \\ \liminf _{nβ β} a_ n =& \sup _ n \inf _{mβ₯ n} a_ n= \lim _{nββ} \inf _{mβ₯ n} a_ n~ . \label{eq:def_ limsup_ liminf_ succ}, \end{align}