Esercizio
47
[0BQ] Fissiamo una successione \(a_ n\) a valori reali; consideriamo ora la definizione in [20F] ponendo \(I=ℕ\) e \(x_ 0=∞\), in modo che gli intorni di \(x_ 0\) siano gli insiemi contenenti \([n,∞)=\{ m∈ℕ:m≥ n\} \); con questi presupposti mostrate che si ha
\begin{align} \limsup _{n→ ∞} a_ n =& \inf _ n \sup _{m≥ n} a_ n= \lim _{n→∞} \sup _{m≥ n} a_ n~ ~ , \nonumber \\ \liminf _{n→ ∞} a_ n =& \sup _ n \inf _{m≥ n} a_ n= \lim _{n→∞} \inf _{m≥ n} a_ n~ . \label{eq:def_ limsup_ liminf_ succ}, \end{align}