EDB — 0CX

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Esercizi

  1. [0CX] Difficoltà:*.

    Sia \(a_{n,m}\) una successione reale 1 a due indici \(n,m∈ℕ\). Supponiamo che

    • per ogni \(m\) esista il limite \(\lim _{n→ ∞} a_{n,m}\), e che

    • esista finito il limite \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) uniformemente in \(n\), cioè

      \[ ∀ \varepsilon {\gt}0 ,~ ∃ m∈ℕ~ ∀ n∈ℕ ,~ ∀ h≥ m ~ ~ | a_{n,h}-b_ n|{\lt}\varepsilon ~ ~ . \]

    allora

    \begin{equation} \lim _{n→ ∞} \lim _{m→ ∞} a_{n,m}= \lim _{m→ ∞} \lim _{n→ ∞} a_{n,m}\label{eq:limlimlimlim} \end{equation}
    3

    nel senso che se uno dei due limiti esiste (possibilmente infinito), allora esiste anche l’altro, e sono uguali.

    Trovate un semplice esempio in cui i due limiti in 3 sono infiniti.

    Trovate un esempio in cui \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) ma il limite non è uniforme e la precedente uguaglianza 3 non vale.

    Soluzione 1

    [0CZ]

  1. Questo risultato vale più in generale se \(a_{n,m}\) sono elementi di uno spazio metrico; inoltre un simile risultato si ha quando i limiti \(n→ ∞\) e/o \(m→∞\) vengono rimpiazzati con limiti \(x→ \hat x\) e/o \(y→\hat y\) dove le precedenti variabili si muovono in spazi metrici. Si veda ad esempio [1JS].
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Bibliography
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  • scambio di limiti
  • convergenza, di serie
Managing blob in: Multiple languages
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