EDB — 0D6

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E12

[0D6]Argomenti:costante di Eulero-Mascheroni.Prerequisiti:[211].

Mostrate che esiste finito il limite

\[ 𝛾 = \lim _{n → ∞ } \left( ∑_{k=1}^ n \frac 1{k} - \log ( n) \right)\quad . \]

Questa \(𝛾\) è detta Costante di Eulero - Mascheroni. Si può definire in moltissimi modi diversi (si veda il link precedente) fra cui

\[ 𝛾 = ∫_ 1^∞\left(\frac{1}{⌊ x⌋}-\frac{1}{x}\right)\, {\mathbb {d}}x \]

dove le parentesi \(⌊ ⋅ ⌋\) indicano la funzione parte intera \(⌊ x ⌋{\stackrel{.}{=}}\max \{ n∈ℤ :n≤ x\} \). Nella immagine 1 la costante \(𝛾\) è l’area blu.

\includegraphics[width=0.4\textwidth ]{UUID/0/D/7/blob_zxx}
Figure 1 Rappresentazione della costante di Eulero-Mascheroni

Immagine di William Demchick, Creative Commons Attribution 3.0 Unported License, tratta da wikipedia.

Soluzione 1

[0D8]

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Authors: "Mennucci , Andrea C. G." .
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  • convergenza, di serie
  • costante di Eulero-Mascheroni
  • floor
  • parte intera
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