EDB — 0PT

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E23

[0PT] Prerequisiti:[0M3], [0PS], [107], [10F],[10J].

Presi \((X_ 1,d_ 1),\ldots ,(X_ n,d_ n)\) spazi metrici, sia \(X=X_ 1× \cdots × X_ n\).

Sia \(𝜑\) una delle norme definite in eqn. [2CK] in Sez. [2CK]. Due possibili esempi sono \(𝜑(x)=|x_ 1|+\cdots + |x_ n|\) oppure \(𝜑(x)=\max _{i=1\ldots n} |x_ i|\).

Definiamo infine per \(x,y∈ X\)

\begin{equation} d(x,y)=𝜑\big( d_ 1(x_ 1,y_ 1), \ldots , d_ n(x_ n,y_ n)\big)\quad . \label{eq:dist_ prodotto} \end{equation}
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Si mostri che \(d\) è una distanza; si mostri che la topologia in \((X,d)\) coincide con la topologia prodotto (si veda [0M3]).

Si noti che questo approccio generalizza il modo con cui viene definita la distanza Euclidea fra punti in \(ℝ^ n\) (prendendo \(X_ i=ℝ\) e \(𝜑(z)=\sqrt{∑_ i |z_ i|^ 2}\)). Ne deduciamo che la topologia di \(ℝ^ n\) è il prodotto delle topologie di \(ℝ\).

Soluzione 1

[0PX]

Si veda anche l’esercizio [0QM], che riformula quanto sopra usando il concetto di basi di topologie.

[ [0PV]] [ [0PW]]

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Bibliography
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  • topologia, in spazi metrici
  • punto di accumulazione, in spazi metrici
  • spazio metrico
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