EDB — 0XH

Esercizi

1. [0XH] Provate queste relazioni fondamentali.

   1. \(|1|_ p=1\) e più in generale \(|n|_ p≤ 1\) per ogni intero nonnullo \(n\), con uguaglianza se \(n\) non è divisibile per \(p\).

   2. Dato \(n\) intero nonnullo, si ha che \(|n|_ p=p^{-𝜑_ p(n)}\).

   3. Dato \(n,m\) interi, si ha che \(𝜑_ p(n+m)≥ \min \{ 𝜑_ p(n),𝜑_ p(m)\} \) con uguaglianza se \(𝜑_ p(n)≠ 𝜑_ p(m)\).

   4. Dato \(n,m\) interi nonnulli, si ha che \(𝜑_ p(nm)=𝜑_ p(n)+𝜑_ p(m)\) e dunque \(|nm|_ p=|n|_ p |m|_ p\).

   5. Dato \(x=a/b\) con \(a,b\) interi nonnulli si ha che \(|x|_ p=p^{-𝜑_ p(a)+𝜑_ p(b)}\). Notiamo che se \(a,b\) sono primi tra loro, allora uno dei due termini \(𝜑_ p(a),𝜑_ p(b)\) è zero.

   6. Provate che \(|x y|_ p = |x|_ p |y|_ p\) per \(x,y∈ℚ\).

   7. Provate che \(|x/y|_ p = |x|_ p / |y|_ p\) per \(x,y∈ℚ\) non nulli.

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