Esercizi
[0XH] Provate queste relazioni fondamentali.
\(|1|_ p=1\) e piΓΉ in generale \(|n|_ pβ€ 1\) per ogni intero nonnullo \(n\), con uguaglianza se \(n\) non Γ¨ divisibile per \(p\).
Dato \(n\) intero nonnullo, si ha che \(|n|_ p=p^{-π_ p(n)}\).
Dato \(n,m\) interi, si ha che \(π_ p(n+m)β₯ \min \{ π_ p(n),π_ p(m)\} \) con uguaglianza se \(π_ p(n)β π_ p(m)\).
Dato \(n,m\) interi nonnulli, si ha che \(π_ p(nm)=π_ p(n)+π_ p(m)\) e dunque \(|nm|_ p=|n|_ p |m|_ p\).
Dato \(x=a/b\) con \(a,b\) interi nonnulli si ha che \(|x|_ p=p^{-π_ p(a)+π_ p(b)}\). Notiamo che se \(a,b\) sono primi tra loro, allora uno dei due termini \(π_ p(a),π_ p(b)\) Γ¨ zero.
Provate che \(|x y|_ p = |x|_ p |y|_ p\) per \(x,yββ\).
Provate che \(|x/y|_ p = |x|_ p / |y|_ p\) per \(x,yββ\) non nulli.