EDB — 0Z3

Esercizi

1. [0Z3] Indichiamo un criterio operativo che può essere usato negli esercizi seguenti.

   • Se esiste una successione descrescente \(𝜌_ j→ 0\) e \(h_ j\) interi positivi tale che bastano \(h_ j\) palle di raggio \(𝜌_ j\) per coprire \(K\), allora

     \begin{equation} \limsup _{𝜌→ 0+}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)} ≤ \limsup _{j→ ∞}\frac{\log h_{j+1}}{\log (1/𝜌_ j)}~ ~ .\label{eq:dimens_ sup_ per_ copertura} \end{equation}

     4

   • Se viceversa esiste una successione descrescente \(r_ j→ 0\), e \(C_ n⊆ K\) famiglie finite di punti che distano almeno \(r_ j\) fra loro, cioè per cui

     \begin{equation} ∀ x,y∈ C_ n,x≠ y ⇒ d(x,y)≥ r_ j~ ,\label{eq:punti_ sparpagliati} \end{equation}

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     allora 

     \begin{equation} \liminf _{𝜌→ 0+}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)} ≥ \liminf _{j→ ∞}\frac{\log l_ j}{\log (1/r_{j+1})}~ ~ . \label{eq:dimens_ inf_ per_ sparpagl} \end{equation}

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     dove \(l_ j=|C_ j|\) è la cardinalità di \(C_ j\). Si noti che i punti di \(x∈ C_ j\) sono centri di palle \(B(x,r_ j/2)\) disgiunte, dunque \(l_ j≤ P(r_ j/2)\), come definito in [0YS]↺↻.

   In particolare se

   \begin{equation} \limsup _{j→ ∞}\frac{\log h_{j+1}}{\log (1/𝜌_{j})}=\liminf _{j→ ∞}\frac{\log l_{j}}{\log (1/r_{j+1})}=𝛽\label{eq:dimens_ per_ sup_ inf} \end{equation}

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   allora l’insieme \(K\) ha dimensione \(𝛽\).

   [ [0Z4]↺↻]

   Soluzione 1

   [0Z5]↺↻