EDB — 0ZZ

Esercizi

1. [0ZZ] Prerequisiti:[106]↺↻, [19D]↺↻, [0ZX]↺↻.Difficoltà:*.Diremo che lo spazio normato $(X,\Vert \cdot \Vert )$ è strettamente convesso ¹ se le seguenti proprietà equivalenti valgono.

   • Il disco $D=\{x\in X:\Vert x\Vert \le 1\}$ è strettamente convesso. ²

   • La sfera $\{x\in X,\Vert x\Vert =1\}$ non contiene segmenti non-banali (cioè, segmento di lunghezza positiva).

   • Per $v,w\in D$ con $\Vert v\Vert =\Vert w\Vert =1$ e $v\ne w$, per ogni $t$ con $0<t<1$ si ha che $\Vert tv+(1-t)w\Vert <1$.

   • Per ogni $v,w\in X$ che sono linearmente indipendenti si ha $\Vert v+w\Vert <\Vert v\Vert +\Vert w\Vert .$

   Dimostrate che le quattro precedenti clausule sono equivalenti.

   [ [101]↺↻]

   Soluzione 1

   [102]↺↻