EDB — 118

[118] Argomenti:convergenza totale.Prerequisiti:[0N8]↺↻,[0NC]↺↻,[0NF]↺↻.

Sia \(V\) uno spazio vettoriale dotato di una norma \(\| x\| \); dunque \(V\) è anche uno spazio metrico con la metrica \(d(x,y)=\| x-y\| \). Mostrate che le due asserzioni seguenti sono equivalenti.

• \((V,d)\) è completo.

• Per ogni successione \((v_ n)_ n⊂ V \) tale che \(∑_ n\| v_ n\| {\lt}∞\), si ha che la serie \(∑_ n v_ n \) converge.

(La seconda viene a volte chiamata “criterio di convergenza totale”)

Uno spazio vettoriale normato \((V,|\cdot \| )\) per cui lo spazio metrico associato \((V,d)\) è completo, è detto spazio di Banach.