Esercizi
[1GF] Consideriamo la seguente funzione di 2 variabili di classe \(C^∞\)
\[ {f}(x,y)= x^ 3+y^ 4-1 \quad . \]Verificate che \(\{ f=0\} =\{ (x,y)∈ℝ^ 2: f(x,y)=0\} \) non sia vuoto; indi, per ogni punto del piano dove questa si annulla discutete se si può applicare il teorema di funzione implicita, e dunque se l’insieme \(\{ f=0\} \) è localmente grafico di funzione \(C^∞\). Studiate inoltre l’insieme \(\{ f=0\} \): è compatto? Quante componenti connesse vi sono?
(Tenere presente quanto mostrato in [1H3]).
Soluzione 1