EDB — 1J3

[1J3]

Sia \(I⊂ℝ\) un intervallo. Quali di queste classi \(\mathcal F\) di funzioni \(f:I→ℝ\) sono chiuse per convergenza uniforme? Quali sono chiuse per convergenza puntuale?

1. Le funzioni continue e monotone (debolmente) crescenti su \(I=[0,1]\).

   Soluzione 1

   [1J4]↺↻

2. Le funzioni convesse su \(I=[0,1]\).

   Soluzione 2

   [1J5]↺↻

3. Data \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞)\) una fissata funzione continua con \(𝜔(0)=0\) (che è detta “modulo di continuità”), sia

   \[ {\mathcal F}=\{ f:[0,1]→ℝ ~ :~ ∀ x,y, |f(x)-f(y)|≤ 𝜔(|x-y|)\} \]

   (questa è detta una famiglia di funzioni equicontinue, come spiegato nella definizione [1HR]↺↻.)

   Soluzione 3

   [1J6]↺↻

4. Dato \(N≥ 0\) fissato, la famiglia di tutti i polinomi di grado minore o uguale a \(N\), visti come funzioni \(f:[0,1]→ℝ\).

   Soluzione 4

   [1J7]↺↻

5. Le funzioni regolate su \(I=[0,1]\). ¹

   Soluzione 5

   [1J9]↺↻

6. Le funzioni uniformemente continue e limitate su \(I=ℝ\).

   Soluzione 6

   [1JB]↺↻

7. Le funzioni Hoelderiane su \(I=[0,1]\), cioè

   \[ \Big\{ f:[0,1]→ℝ ~ \Big|~ ∃ b{\gt}0,∃𝛼∈(0,1]~ ~ ∀ x,y∈[0,1], |f(x)-f(y)|≤ b |x-y|^𝛼\Big\} \]
   Soluzione 7

   [1JC]↺↻

8. Le funzioni Riemann integrabili su \(I=[0,1]\).

   Soluzione 8

   [1JF]↺↻