EDB — 1J3

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E8

[1J3]

Sia \(I⊂ℝ\) un intervallo. Quali di queste classi \(\mathcal F\) di funzioni \(f:I→ℝ\) sono chiuse per convergenza uniforme? Quali sono chiuse per convergenza puntuale?

  1. Le funzioni continue e monotone (debolmente) crescenti su \(I=[0,1]\).

    Soluzione 1

    [1J4]

  2. Le funzioni convesse su \(I=[0,1]\).

    Soluzione 2

    [1J5]

  3. Data \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞)\) una fissata funzione continua con \(𝜔(0)=0\) (che è detta “modulo di continuità”), sia

    \[ {\mathcal F}=\{ f:[0,1]→ℝ ~ :~ ∀ x,y, |f(x)-f(y)|≤ 𝜔(|x-y|)\} \]

    (questa è detta una famiglia di funzioni equicontinue, come spiegato nella definizione [1HR].)

    Soluzione 3

    [1J6]

  4. Dato \(N≥ 0\) fissato, la famiglia di tutti i polinomi di grado minore o uguale a \(N\), visti come funzioni \(f:[0,1]→ℝ\).

    Soluzione 4

    [1J7]

  5. Le funzioni regolate su \(I=[0,1]\). 1

    Soluzione 5

    [1J9]

  6. Le funzioni uniformemente continue e limitate su \(I=ℝ\).

    Soluzione 6

    [1JB]

  7. Le funzioni Hoelderiane su \(I=[0,1]\), cioè

    \[ \Big\{ f:[0,1]→ℝ ~ \Big|~ ∃ b{\gt}0,∃𝛼∈(0,1]~ ~ ∀ x,y∈[0,1], |f(x)-f(y)|≤ b |x-y|^𝛼\Big\} \]

    Soluzione 7

    [1JC]

  8. Le funzioni Riemann integrabili su \(I=[0,1]\).

    Soluzione 8

    [1JF]

  1. Le funzioni \(f:I→ℝ\) regolate sono le funzioni che ammettono in ogni punto limite destro e limite sinistro finiti. Si veda la Sezione [2CT].
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Bibliografia
Indice analitico
  • funzione, monotona
  • funzione, convessa
  • modulo di continuità
  • funzioni, equicontinue
  • equicontinua
  • polinomio, successione di ---
  • polinomio, convergenza di ---
  • funzione, regolata
  • funzione, limitata
  • funzione, uniformemente continua
  • Hoelder
  • funzione, Hölderiana
  • funzione, Riemann integrabile
  • convergenza, puntuale
  • convergenza, uniforme
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