EDB — 1K4

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E4

[1K4]Prerequisiti:[1HR],[0V3],[0VR],[1K2],[1K0].Difficoltà:**.Note:Una versione del teorema di Ascoli–Arzelà.

Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo chiuso e limitato. Sia \(C(I)\) l’insieme delle funzioni \(f:I→ℝ\) continue. Dotiamo \(C(I)\) della distanza \(d_∞(f,g)=\| f-g\| _∞\). Sappiamo che lo spazio metrico \((C(I),d_∞)\) è completo.

Sia \({\mathcal F}⊆ C(I)\): le seguenti sono equivalenti.

  1. \({\mathcal F}\) è compatto

  2. \({\mathcal F}\) è chiusa, è equicontinua e limitata (cioè \(\sup _{f∈{\mathcal F}} \| f\| _∞{\lt}∞\)).

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Bibliography
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  • Ascoli
  • Arzelà
  • teorema, di Ascoli--Arzelà
  • convergenza, puntuale
  • convergenza, uniforme
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