EDB — 1K4

[1K4]Prerequisiti:[1HR]↺↻,[0V3]↺↻,[0VR]↺↻,[1K2]↺↻,[1K0]↺↻.Difficoltà:**.Note:Una versione del teorema di Ascoli–Arzelà.

Sia $I\subseteq ℝ$ un intervallo chiuso e limitato. Sia $C(I)$ l’insieme delle funzioni $f:I\to ℝ$ continue. Dotiamo $C(I)$ della distanza $d_{\infty }(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_{\infty }$. Sappiamo che lo spazio metrico $(C(I),d_{\infty })$ è completo.

Sia $\mathcal{F}\subseteq C(I)$: le seguenti sono equivalenti.

1. $\mathcal{F}$ è compatto

2. $\mathcal{F}$ è chiusa, è equicontinua e limitata (cioè $\underset{f\in \mathcal{F}}{sup}\Vert f{\Vert }_{\infty }<\infty$).