EDB — 1K4

[1K4]Prerequisiti:[1HR]↺↻,[0V3]↺↻,[0VR]↺↻,[1K2]↺↻,[1K0]↺↻.Difficoltà:**.Note:Una versione del teorema di Ascoli–Arzelà.

Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo chiuso e limitato. Sia \(C(I)\) l’insieme delle funzioni \(f:I→ℝ\) continue. Dotiamo \(C(I)\) della distanza \(d_∞(f,g)=\| f-g\| _∞\). Sappiamo che lo spazio metrico \((C(I),d_∞)\) è completo.

Sia \({\mathcal F}⊆ C(I)\): le seguenti sono equivalenti.

1. \({\mathcal F}\) è compatto

2. \({\mathcal F}\) è chiusa, è equicontinua e limitata (cioè \(\sup _{f∈{\mathcal F}} \| f\| _∞{\lt}∞\)).