Teorema
23
[21D] Se \((a_ n)_ nβ{\mathbb {R}}\) ha termini positivi ed Γ¨ monotona (debolmente) decrescente, la serie converge se e solo se converge la serie
\[ β_{n=1}^β 2^ n a_{2^ n} \quad . \]
Proof
Dato che la successione \((a_ n)_ n\) Γ¨ decrescente, allora per \(hβ{\mathbb {N}}\)
\begin{equation} 2^{h}a_{2^{(h+1)}}β€ β_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ kβ€ 2^{h}a_{2^{h}}\quad .\label{eq:32rn2lp} \end{equation}
24
Notiamo ora che
\[ β_{h=0}^ Nβ_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k = β_{n=2}^{2^{N+1}}a_ n \]
e dunque
\[ β_{h=0}^ββ_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k= \lim _{Nββ} β_{h=0}^ Nβ_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k= \lim _{Nββ} β_{n=2}^{2^{(N+1)}}a_ n {=} β_{n=2}^β a_ n \quad . \]
dunque possiamo sommare i termini in 24 per ottenere
\[ β_{h=0}^β 2^{h}a_{2^{(h+1)}}β€ β_{n=2}^β a_ nβ€β_{h=0}^β 2^{h}a_{2^{h}} \]
laddove il termini a destra Γ¨ finito se e solo se quello a sinistra Γ¨ finito, in quanto
\[ β_{h=0}^β 2^{h}a_{2^{h}}=a_ 1 + 2 β_{h=0}^β 2^{h}a_{2^{(h+1)}}\quad : \]
si conclude la dimostrazione con il teorema di confronto.