(Compatibilità di addizione e ordinamento) Si ha \(n≤ m\) se e solo se \(n+k≤ m+k\).
(Compatibilità di moltiplicazione e ordinamento) Quando \(k≠ 0\) si ha \(n≤ m\) se e solo se \(n× k≤ m× k\).
In particolare (ricordando [28M]) la mappa \(n\mapsto n× h\) è strettamente crescente (e dunque iniettiva).
Useremo alcune proprietà lasciate per esercizio.
Se \(n≤ m\), per definizione \(m=n+h\), allora \(n+k≤ m+k\) in quanto \(m+k=n+h+k\) (notate che stiamo usando l’associatività). Se \(n+k≤ m+k\) sia allora \(j\) l’unico naturale tale che \(n+k+j= m+k\) ma allora \(n+j= m\) per eliminazione [27V].
Se \(n≤ m\) allora \(m=n+h\) dunque \(m× k=n× k+h× k\) così \(n× k≤ m× k\). Viceversa sia \(k≠ 0\) e sia \(n× k≤ m× k\) cioè \(n× k + j= m× k\): dividiamo \(j\) per \(k\) usando la divisione con resto [28J], scriviamo \(j=q× k + r\) dunque per associatività \((n+q)× k + r= m× k\), ma per unicità della divisione con resto \(r=0\): infine raccogliendo \((n+q)× k = m× k\) e usando [28M] concludiamo che \((n+q) = m\).