EDB — 2CH

11.2 Isometrie[2CH]

Riscriviamo la definizione [0TK]↺↻ nel caso di spazi normati.

La confronteremo con questa definizione.

Se $𝜑$ è lineare allora la definizione di equazione [(11.24)]↺↻ è equivalente alla definizione di isometria lineare vista in equazion [(11.26)]↺↻ (basta porre $z=x-y$). Questo spiega perché entrambi vengono chiamate “isometrie”.

Per il teorema di Mazur–Ulam [ se $M_1,M_2$ sono spazi vettoriali (su campo reale) dotati di norma e $𝜑$ è una isometria surgettiva, allora $𝜑$ è affine (che vuol dire che $x\mapsto 𝜑(x)-𝜑(0)$ è lineare).

Ci chiediamo ora se vi possono essere isometrie che non sono mappe lineari, o più in generale mappe affini.

Esercizi

1. [112]↺↻

2. [114]↺↻