11.2 Isometrie[2CH]
Riscriviamo la definizione [0TK] nel caso di spazi normati.
Definizione
22
La confronteremo con questa definizione.
Definizione
23
Se \(𝜑\) è lineare allora la definizione di equazione [(11.24)] è equivalente alla definizione di isometria lineare vista in equazion [(11.26)] (basta porre \(z=x-y\)). Questo spiega perché entrambi vengono chiamate “isometrie”.
Per il teorema di Mazur–Ulam [ se \(M_ 1, M_ 2\) sono spazi vettoriali (su campo reale) dotati di norma e \(𝜑\) è una isometria surgettiva, allora \(𝜑\) è affine (che vuol dire che \(x↦ 𝜑(x)-𝜑(0)\) è lineare).
Ci chiediamo ora se vi possono essere isometrie che non sono mappe lineari, o più in generale mappe affini.