EDB — 2F3

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E43

[2F3]Argomenti:insieme perfetto.Prerequisiti:[0QP],[2F2],[2FD].Difficoltà:**.

Supponiamo che \((X,d)\) sia uno spazio metrico completo. Un insieme chiuso \(E⊆ X\) senza punti isolati, cioè costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Sia \(C\) l’insieme di Cantor. Sia \(E\) perfetto e non vuoto. Dimostrate che esiste una funzione continua \(𝜑:C→ E\) che è un omeomorfismo con la sua immagine. Questo implica che \(|E|≥ |ℝ|\).

Dunque, in un certo senso, ogni insieme perfetto non vuoto contiene una copia dell’insieme di Cantor.

Questo si può mostrare senza usare l’ipotesi del continuo [2F2]. Cf. [0W3].

Per via di [0J8], sarà sufficiente mostrare che esiste una \(𝜑:C→ E\) continua e iniettiva.

Soluzione 1

[2F4]

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