EDB — 2F3

[2F3]Argomenti:insieme perfetto.Prerequisiti:[0QP]↺↻,[2F2]↺↻,[2FD]↺↻.Difficoltà:**.

Supponiamo che \((X,d)\) sia uno spazio metrico completo. Un insieme chiuso \(E⊆ X\) senza punti isolati, cioè costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Sia \(C\) l’insieme di Cantor. Sia \(E\) perfetto e non vuoto. Dimostrate che esiste una funzione continua \(𝜑:C→ E\) che è un omeomorfismo con la sua immagine. Questo implica che \(|E|≥ |ℝ|\).

Dunque, in un certo senso, ogni insieme perfetto non vuoto contiene una copia dell’insieme di Cantor.

Questo si può mostrare senza usare l’ipotesi del continuo [2F2]↺↻. Cf. [0W3]↺↻.

Per via di [0J8]↺↻, sarà sufficiente mostrare che esiste una \(𝜑:C→ E\) continua e iniettiva.