Esercizi
[1KQ]Prerequisiti:[1K9].Consideriamo le serie di potenze
\[ f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n ~ ~ ,~ ~ g(x)=∑_{m=0}^∞ b_ m x^ m~ , \]con raggio di convergenza non nullo, rispettivamente \(r_ f\) e \(r_ g\).
Si mostri che la funzione prodotto \(h(x)=f(x)g(x)\) si può esprimere in serie di potenze
\[ h(x)=∑_{k=0}^∞ c_ k x^ k \]dove
\[ c_ k = ∑_{j=0}^ k a_ j b_{k-j}~ ; \]con raggio di convergenza \(r_ h≥\min \{ r_ f, r_ g\} \). (Si noti la somiglianza con il prodotto di Cauchy, discusso in sezione [0CN])
Può succedere che \(r_ h{\gt}\min \{ r_ f, r_ g\} \)?
Soluzione 1