EDB — 2BP

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E101

[2BP] Prerequisiti:[0KK],[0MM],[0K4].Difficoltà:*.Sia \(Ω\) un insieme infinito più che numerabile; consideriamo \(X=ℝ^Ω\) con la topologia \(𝜏\) vista in [0MM].

  1. Mostrate che ogni punto in \((X,𝜏)\) non ammette un sistema fondamentale numerabile di intorni.

  2. Posto

    \begin{equation} C{\stackrel{.}{=}}\{ f∈ X, f(x)≠ 0 \text{~ per al più numerabili ~ } x∈Ω\} \label{eq:C} \end{equation}
    102

    mostrate che si ha \(\overline C=X\);

  3. che se \((f_ n)⊂ C\) e \(f_ n→ f\) puntualmente allora \(f∈ C\).

  4. Sia \(I\) l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti di \(Ω\), questo è un insieme filtrante se ordinato per inclusione; consideriamo la rete

    \[ 𝜑:I→ X\quad ,𝜑(A) = {\mathbb 1}_ A \]

    si ha che \(∀ A∈ I,𝜑(A)∈ C\) ma

    \[ \lim _{A∈ I} 𝜑(A) = {\mathbb 1}_ X∉ C\quad . \]

Soluzione 1

[2BQ]

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Authors: Ricci, Fulvio ; "Mennucci , Andrea C. G." .
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  • topologico, spazio
  • spazio, topologico
  • funzione, caratteristica
  • rete
  • intorno, sistema fondamentale di —
  • sistema fondamentale di intorni
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