EDB — 1M3

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Esercizi

  1. [1M3]Prerequisiti:[1K9],[1KQ], [20V], [20W].È uso definire

    \[ e^ z =∑_{k=0}^∞ \frac 1{k!} z^ k \]

    per \(z∈ℂ\). Vogliamo riflettere su questa definizione.

    • Innanzitutto, per ogni \(z∈ℂ\), possiamo effettivamente definire

      \[ f(z) =∑_{k=0}^∞ \frac 1{k!} z^ k \]

      (si noti infatti che il raggio di convergenza è infinito — come si verifica facilmente usando il criterio della radice [219]).

    • Notiamo che \(f(0)=1\); definiamo \(e=f(1)\) che è il numero di Nepero 1

    • Si mostri che \(f(z+w)=f(z)f(w)\) per \(z,w∈ℂ\).

    • Si verifica facilmente che \(f(x)\) è monotona crescente per \(x∈(0,∞)\); usando la relazione precedente, si ottiene che è monotona crescente per \(x∈ℝ\).

    • Si mostri poi che, per \(n,m{\gt}0\) interi, \(f(n/m) = e^{n/m}\) (per la definizione di \(e^{n/m}\) si riveda [20V]).

    • Si deduca che, per ogni \(x∈ℝ\), \(f(x) = e^{x}\) (per la definizione di \(e^{x}\) si riveda [20W])

    Soluzione 1

    [1M4]

  1. Conosciuta come Euler’s number o Napier’s constant in Inglese.
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Bibliography
Book index
  • esponenziale
  • Nepero
  • Eulero
  • numero di Nepero
  • costante, di Nepero
  • Euler's number , see numero di Nepero
  • \(e\) , see numero di Nepero
  • serie, di potenze
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