EDB — 1M3

Esercizi

1. [1M3]Prerequisiti:[1K9]↺↻,[1KQ]↺↻, [20V]↺↻, [20W]↺↻.È uso definire

   $$e^z={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{z}^k$$

   per $z\in ℂ$. Vogliamo riflettere su questa definizione.

   • Innanzitutto, per ogni $z\in ℂ$, possiamo effettivamente definire

     $$f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{z}^k$$

     (si noti infatti che il raggio di convergenza è infinito — come si verifica facilmente usando il criterio della radice [219]↺↻).

   • Notiamo che $f(0)=1$; definiamo $e=f(1)$ che è il numero di Nepero ¹

   • Si mostri che $f(z+w)=f(z)f(w)$ per $z,w\in ℂ$.

   • Si verifica facilmente che $f(x)$ è monotona crescente per $x\in (0,\infty )$; usando la relazione precedente, si ottiene che è monotona crescente per $x\in ℝ$.

   • Si mostri poi che, per $n,m>0$ interi, $f(n/m)=e^{n/m}$ (per la definizione di $e^{n/m}$ si riveda [20V]↺↻).

   • Si deduca che, per ogni $x\in ℝ$, $f(x)=e^x$ (per la definizione di $e^x$ si riveda [20W]↺↻)

   Soluzione 1

   [1M4]↺↻