EDB — 1M3

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Esercizi

  1. [1M3]Prerequisiti:[1K9],[1KQ], [20V], [20W].È uso definire

    ez=k=01k!zk

    per z. Vogliamo riflettere su questa definizione.

    • Innanzitutto, per ogni z, possiamo effettivamente definire

      f(z)=k=01k!zk

      (si noti infatti che il raggio di convergenza è infinito — come si verifica facilmente usando il criterio della radice [219]).

    • Notiamo che f(0)=1; definiamo e=f(1) che è il numero di Nepero 1

    • Si mostri che f(z+w)=f(z)f(w) per z,w.

    • Si verifica facilmente che f(x) è monotona crescente per x(0,); usando la relazione precedente, si ottiene che è monotona crescente per x.

    • Si mostri poi che, per n,m>0 interi, f(n/m)=en/m (per la definizione di en/m si riveda [20V]).

    • Si deduca che, per ogni x, f(x)=ex (per la definizione di ex si riveda [20W])

    Soluzione 1

    [1M4]

  1. Conosciuta come Euler’s number o Napier’s constant in Inglese.
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Bibliography
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  • esponenziale
  • Nepero
  • Eulero
  • numero di Nepero
  • costante, di Nepero
  • Euler's number , see numero di Nepero
  • e , see numero di Nepero
  • serie, di potenze
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