Esercizi
[1M3]Prerequisiti:[1K9],[1KQ], [20V], [20W].È uso definire
\[ e^ z =∑_{k=0}^∞ \frac 1{k!} z^ k \]per \(z∈ℂ\). Vogliamo riflettere su questa definizione.
Innanzitutto, per ogni \(z∈ℂ\), possiamo effettivamente definire
\[ f(z) =∑_{k=0}^∞ \frac 1{k!} z^ k \](si noti infatti che il raggio di convergenza è infinito — come si verifica facilmente usando il criterio della radice [219]).
Notiamo che \(f(0)=1\); definiamo \(e=f(1)\) che è il numero di Nepero 1
Si mostri che \(f(z+w)=f(z)f(w)\) per \(z,w∈ℂ\).
Si verifica facilmente che \(f(x)\) è monotona crescente per \(x∈(0,∞)\); usando la relazione precedente, si ottiene che è monotona crescente per \(x∈ℝ\).
Si mostri poi che, per \(n,m{\gt}0\) interi, \(f(n/m) = e^{n/m}\) (per la definizione di \(e^{n/m}\) si riveda [20V]).
Si deduca che, per ogni \(x∈ℝ\), \(f(x) = e^{x}\) (per la definizione di \(e^{x}\) si riveda [20W])
Soluzione 1