15 Funzioni e insiemi convessi[16V]
Presenteremo ora alcuni risultati riguardo alla convessità. Per semplicità useremo \({\mathbb {R}}^ n\) come spazio ambiente, ma quasi tutti i risultati valgono in un qualunque spazio vettoriale.
15.1 Insiemi convessi
Topologia
Si vedano anche gli esercizi [122], [130] e [132].
Proiezione, separazione
15.2 Funzione convessa
Le funzioni convesse godono di tantissime proprietà interessanti, questa che segue è solo una piccola lista.
...definizioni equivalenti
Proprietà
Questa che segue è una lista di proprietà per funzioni convesse \(f:C→ℝ\) con \(C⊆ ℝ^ n\). Ovviamente queste proprietà valgono anche quando \(n=1\); ma quando \(n=1\) le dimostrazioni sono in genere più facili, si veda la sezione successiva.
15.3 Caso reale
Sia \(I⊂ ℝ\), allora \(I\) è convesso se e solo è un intervallo (si veda [0S0]). Nel seguito considereremo \(f:I→ℝ\) dove \(I=(a,b)\) è un intervallo aperto.
Convessità e derivate
Si veda anche l’ esercizio [1BF] per il rapporto fra integrale e convessità.
Funzioni convesse a valori estesi
Consideriamo funzioni convesse che possono anche assumere valore \(+∞.\) Sia \(I\) un intervallo.
15.4 Ulteriori proprietà e esercizi
Si veda anche l’esercizio [1C3].
Funzione distanza
Funzioni e insiemi strettamente convessi
- E7
Ci si chiede ora, cosa accade se \(f\) è strettamente convessa?
- E10
[ [19J]]