EDB — 16V

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15 Funzioni e insiemi convessi[16V]

Presenteremo ora alcuni risultati riguardo alla convessità. Per semplicità useremo \({\mathbb {R}}^ n\) come spazio ambiente, ma quasi tutti i risultati valgono in un qualunque spazio vettoriale.

15.1 Insiemi convessi

[2F0]

Topologia

E4

[16Y]

E4

[16Z]

E4

[170]

E4

[172]

E4

[174]

E4

[176]

E4

[178]

E4

[17B]

E4

[059]

Definizione 5

[2G4]

Si vedano anche gli esercizi [122], [130] e [132].

Proiezione, separazione

E5

[17D]

E5

[17H]

E5

[17J]

E5

[17M]

E5

[17P]

E5

[17R]

E5

[17T]

E5

[17W]

15.2 Funzione convessa

Definizione 6

[17Y]

Definizione 7

[17Z]

Le funzioni convesse godono di tantissime proprietà interessanti, questa che segue è solo una piccola lista.

...definizioni equivalenti

E7

[180]

E7

[181]

Proprietà

Questa che segue è una lista di proprietà per funzioni convesse \(f:C→ℝ\) con \(C⊆ ℝ^ n\). Ovviamente queste proprietà valgono anche quando \(n=1\); ma quando \(n=1\) le dimostrazioni sono in genere più facili, si veda la sezione successiva.

E7

[182]

E7

[183]

E7

[184]

E7

[186]

E7

[188]

E7

[18B]

E7

[18C]

15.3 Caso reale

Sia \(I⊂ ℝ\), allora \(I\) è convesso se e solo è un intervallo (si veda [0S0]). Nel seguito considereremo \(f:I→ℝ\) dove \(I=(a,b)\) è un intervallo aperto.

E7

[18F]

E7

[18H]

E7

[18J]

E7

[18K]

Convessità e derivate

E7

[18M]

E7

[18P]

E7

[18R]

E7

[18T]

E7

[18W]

Si veda anche l’ esercizio [1BF] per il rapporto fra integrale e convessità.

Funzioni convesse a valori estesi

Consideriamo funzioni convesse che possono anche assumere valore \(+∞.\) Sia \(I\) un intervallo.

E7

[18Y]

E7

[18Z]

15.4 Ulteriori proprietà e esercizi

E7

[191]

E7

[192]

E7

[194]

E7

[196]

Si veda anche l’esercizio [1C3].

Funzione distanza

E7

[198]

E7

[19B]

Funzioni e insiemi strettamente convessi

E7

[19C]

Nota 8

[23N]

Ci si chiede ora, cosa accade se \(f\) è strettamente convessa?

Definizione 9

[19D]

(Notate che un insieme strettamente convesso necessariamente ha parte interna non vuota).

Nota 10

[19F]

E10

[19G]

[ [19J]]

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Bibliography
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  • funzione, convessa
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