EDB — 16V

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15 Funzioni e insiemi convessi[16V]

Presenteremo ora alcuni risultati riguardo alla convessità. Per semplicità useremo $R^{n}$ come spazio ambiente, ma quasi tutti i risultati valgono in un qualunque spazio vettoriale.

15.1 Insiemi convessi

[2F0]

Topologia

E4: [16Y]
E4: [16Z]
E4: [170]
E4: [172]
E4: [174]
E4: [176]
E4: [178]
E4: [17B]
E4: [059]

Definizione 5

[2G4]

Si vedano anche gli esercizi [122], [130] e [132].

Proiezione, separazione

E5: [17D]
E5: [17H]
E5: [17J]
E5: [17M]
E5: [17P]
E5: [17R]
E5: [17T]
E5: [17W]

15.2 Funzione convessa

Definizione 6

[17Y]

Definizione 7

[17Z]

Le funzioni convesse godono di tantissime proprietà interessanti, questa che segue è solo una piccola lista.

...definizioni equivalenti

E7: [180]
E7: [181]

Proprietà

Questa che segue è una lista di proprietà per funzioni convesse $f : C \to ℝ$ con $C \subseteq ℝ^{n}$ . Ovviamente queste proprietà valgono anche quando $n = 1$ ; ma quando $n = 1$ le dimostrazioni sono in genere più facili, si veda la sezione successiva.

E7: [182]
E7: [183]
E7: [184]
E7: [186]
E7: [188]
E7: [18B]
E7: [18C]

15.3 Caso reale

Sia $I \subset ℝ$ , allora $I$ è convesso se e solo è un intervallo (si veda [0S0]). Nel seguito considereremo $f : I \to ℝ$ dove $I = (a, b)$ è un intervallo aperto.