EDB — 1QB

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23 Equazioni differenziali[1QB]

Per poter risolvere i seguenti esercizi sarà necessario conoscere alcuni risultati fondamentali, quali: il Teorema di esistenza e unicità locale  1 , il Lemma di Gronwall; e in generale i metodi per analizzare, risolvere e/o studiare qualitativamente le Equazioni Differenziali. Questi si possono per esempio trovare in [ 29 , 24 , 23 , 3 ] .

E4

[1QC]

E4

[1QH]

E4

[1QK]

E4

[1QN]

23.1 Problemi autonomi

E4

[1QR]

E4

[1QV]

E4

[1QX]

E4

[1QZ]

23.2 Risoluzione

E4

[1R1]

E4

[1R4]


23.3 Discussioni qualitative

[ [1R6]]

Per i successivi esercizi può essere utile il seguente semplice lemma di confronto.

Lemma 5

[1R7]

(Vi sono versioni molto più raffinate di questo lemma, si veda ad esempio nella sezione 8.6 negli appunti del corso [ 3 ] ).

E5

[1R8]

E5

[1RD]

E5

[1RK]

E5

[1RQ]

QuasiEsercizio 1

[1RR]

QuasiEsercizio 2

[1RS]


23.4 Inviluppo

Data una famiglia di curve planari, vogliamo definire la curva inviluppo. Vediamo due possibili definizioni.

Definizione 6 Inviluppo di curve

[23Y]

Nota 7

[240]

[ [1RT]]

Vogliamo vedere che le due precedenti definizioni sono equivalenti, in questo senso.

E7

[1RV]

E7

[1RY]

E7

[1S1]

E7

[1S4]

E7

[1S7]

E7

[1S9]


23.5 Equazioni lineari (a coefficienti costanti)

Definizione 8

[23Z]

E8

[1SC]

E8

[1SD]

E8

[1SF]

E8

[1SH]

E8

[1SK]

E8

[1SN]

E8

[1SP]

E8

[1SS]


23.6 Equazioni matriciali

Per risolvere i seguenti esercizi bisogna conoscere le proprietà elementari dell’esponenziale di matrici, si veda in sezione [2D8].

E8

[1SW]

E8

[1SY]

E8

[1T1]

E8

[1T3]

E8

[1T6]

  1. Anche noto come: teorema di Picard–Lindelöf theorem, o di Cauchy–Lipschitz.
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Bibliografia
  • [29] Gerald Teschl. Ordinary differential equations and dynamical systems, volume 140. American Mathematical Soc., 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. URL http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/index.html. (Freely available on the author’s website).
  • [24] to3em. Ordinary Differential Equations in Rn. Springer, 1984. ISBN 978-0-387-90723-9. DOI: 10.1007/978-1-4612-5188-0.
  • [3] L. Ambrosio, C. Mantegazza, and F. Ricci. Complementi di matematica. Scuola Normale Superiore, 2021. ISBN 9788876426933. URL https://books.google.it/books?id=1QR0zgEACAAJ.
  • [23] Livio C. Piccinini, Giovanni Vidossich, and Guido Stampacchia. Equazioni differenziali ordinarie in \(R^ N\) (problemi e metodi). Liguori Editore, 1978.

Indice analitico
  • ODE
  • Picard
  • Lindelöf
  • Cauchy
  • Lipschitz
  • teorema, di esistenza e unicità locale
  • teorema, Picard–Lindelöf
  • teorema, Cauchy–Lipschitz
  • equazione differenziale , si veda ODE
  • Gronwall
  • lemma, di Gronwall
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