7.3 Serie

Criteri

Teorema 217 Criterio della radice

[219] Sia \(𝛼=\limsup _{n→∞}\sqrt[n]{|a_ n|}\) allora

  • Se \(𝛼{\lt}1\) la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) converge assolutamente;

  • Se \(𝛼=1\) non si può concludere nulla;

  • Se \(𝛼{\gt}1\) la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) non converge, e inoltre \(∑_{n=1}^∞ |a_ n|\) diverge.

Prova ▼

[21B]

  • Se \(𝛼{\lt}1\), preso \(L∈(𝛼,1)\) si ha definitivamente \(\sqrt[n]{|a_{n}|}{\lt}L\) dunque vi è un \(N\) per cui \(|a_ n|≤ L^{N-n}\) per ogni \(n≥ N\) e si conclude per confronto con la serie geometrica.

  • Per le due serie \(1/n\) e \(1/n^ 2\) si ha \(𝛼=1\).

  • Se \(𝛼{\gt}1\) si ha frequentemente \(\sqrt[n]{|a_{n}|}{\gt}1\) dunque \(|a_ n|{\gt}1\), in contrasto con il criterio necessario.

Teorema 218 Criterio del rapporto, o di D’Alambert

[21C] Assumiamo che \(a_ n\neq 0\). Sia \(𝛼=\limsup _{n→∞}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\) allora

  • Se \(𝛼{\lt}1\) la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) converge assolutamente;

  • se \(𝛼≥ 1\) non si può concludere nulla.

Prova ▼

  • Se \(𝛼{\lt}1\), preso \(L∈(𝛼,1)\) si ha definitivamente \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}{\lt}L\) dunque vi è un \(N\) per cui \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}{\lt}L\) per ogni \(n≥ N\), per induzione si mostra che \(|a_ n|≤ L^{n-N} |a_ N|\) e si conclude per confronto con la serie geometrica.

  • Vediamo alcuni esempi. Per le due serie \(1/n\) e \(1/n^ 2\) si ha \(𝛼=1\).

    Definendo

    \begin{equation} a_ n= \begin{cases} 2^{-n} & n~ \text{pari}\\ 2^{2-n} & n~ \text{dispari}\\ \end{cases} \label{eq:f3422p3sa} \end{equation}
    219

    si ottiene una serie convergente ma per cui \(𝛼=2\).

Nota 223

[0F1]Se è possibile applicare il criterio del rapporto 218, abbiamo visto nella dimostrazione che, per un \(L{\lt}1\), vi è un \(N\) per cui \(|a_ n|≤ L^{n-N}a_ N\) per ogni \(n≥ N\), e dunque \(\limsup _{n→∞}\sqrt[n]{|a_ n|}≤ L {\lt}1\), cioè si applica il criterio della radice 224.

Teorema 224 Criterio di condensazione di Cauchy

[21D] Se \((a_ n)_ n⊂{\mathbb {R}}\) ha termini positivi ed è monotona (debolmente) decrescente, la serie converge se e solo se converge la serie

\[ ∑_{n=1}^∞ 2^ n a_{2^ n} \quad . \]
Prova ▼

Dato che la successione \((a_ n)_ n\) è decrescente, allora per \(h∈{\mathbb {N}}\)

\begin{equation} 2^{h}a_{2^{(h+1)}}≤ ∑_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k≤ 2^{h}a_{2^{h}}\quad .\label{eq:32rn2lp} \end{equation}
225

Notiamo ora che

\[ ∑_{h=0}^ N∑_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k = ∑_{n=2}^{2^{N+1}}a_ n \]

e dunque

\[ ∑_{h=0}^∞∑_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k= \lim _{N→∞} ∑_{h=0}^ N∑_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k= \lim _{N→∞} ∑_{n=2}^{2^{(N+1)}}a_ n {=} ∑_{n=2}^∞ a_ n \quad . \]

dunque possiamo sommare i termini in 225 per ottenere

\[ ∑_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{(h+1)}}≤ ∑_{n=2}^∞ a_ n≤∑_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{h}} \]

laddove il termini a destra è finito se e solo se quello a sinistra è finito, in quanto

\[ ∑_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{h}}=a_ 1 + 2 ∑_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{(h+1)}}\quad : \]

si conclude la dimostrazione con il teorema di confronto.

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio dei segni alterni di Leibniz.

Teorema 226 criterio di Dirichlet

[21F] Siano \(\{ a_{n}\} \) e \(\{ b_{n}\} \) due successioni. Se \( b_{n}\) tende monotonamente a \(0\) e se la serie delle somme parziali di \(a_ n\) è limitata, cioè se

\[ b_{n}≥ b_{n+1} {\gt}0\quad ,\quad \lim _{n→∞ } b_{n} = 0 \quad ,\quad ∃ M{\gt}0,~ ∀ N∈ℕ~ , \left|∑ _{n=1}^{N}a_{n}\right|{\lt}M\quad , \]

allora la serie

\[ ∑ _{n=1}^{+∞ }{a_{n}b_{n}} \]

è convergente.

La dimostrazione è lasciata come esercizio (sugg. si usi 2)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’21G’]

In particolare, ponendo \(a_{n}=(-1)^{n}\) si dimostra l’esistenza del limite nel criterio di Leibniz.

Teorema 227 criterio di Leibniz

[238] Sia \(b_ n\) una successione per cui

\[ b_{n}≥ b_{n+1} {\gt}0\quad , \quad \lim _{n→∞ } b_{n} = 0 \quad , \]

allora la serie

\[ ∑ _{n=0}^{+∞ }{ (-1)^{n}b_{n}} \]

è convergente; inoltre, chiamato \(ℓ\) il valore della serie, poste

\[ B_ N = ∑ _{n=0}^{N }{ (-1)^{n}b_{n}} \]

le somme parziali, si ha che la successione \(B_{2N}\) è decrescente , la successione \(B_{2N+1}\) è crescente, e entrambe convergono a \(ℓ\).

Teorema 228 Criterio di Raabe

[0DR](Svolto il 2022-12-13) Consideriamo la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) dove i termini sono positivi: \(a_ n{\gt}0\). Definiamo

\[ z_ n = n\left(\frac{a_ n}{a_{n+1}}-1\right) \]

per comodità.

  • Se \(z_ n ≤ 1\) definitivamente in \(n\), allora la serie non converge.

  • Se esiste \(L{\gt}1\) tale che \( z_ n≥ L\) definitivamente in \(n\), cioè equivalentemente se

    \[ \liminf _{n→∞} z_ n{\gt}1\quad , \]

    allora la serie converge.

Inoltre, fissato \(h∈ {\mathbb {Z}}\), si può definire

\[ z_ n = (n+h)\left(\frac{a_ n}{a_{n+1}}-1\right) \]

oppure

\[ z_ n = n\left(\frac{a_{n+h}}{a_{n+h+1}}-1\right) \]

come ad esempio

\[ z_ n = n\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right) \]

e il criterio vale allo stesso modo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DS’]

Esercizi

E228

[214](Svolto il 2022-12-13) Sia \(𝛼{\gt}0\); usate il criterio di Raabe 228 per studiare la convergenza della serie

\[ ∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^𝛼} \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’215’]

E228

[23D](Svolto il 2022-12-13) Sia \(𝛼{\gt}0\); usate il criterio di condensazione 224 per studiare la convergenza della serie

\[ ∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^𝛼} \]
E228

[0DW] Data una serie \(∑_ n^∞ a_ n\) dire se le condizioni successive sono necessarie e/o sufficienti per la convergenza.

\begin{eqnarray} ∀\varepsilon {\gt}0~ ∃ m∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m ~ ∀ k∈{\mathbb {N}}~ ~ \left|∑_{j=n}^{n+k} a_ k\right|{\lt}\varepsilon \\ ∀\varepsilon {\gt}0~ ∀ k∈{\mathbb {N}}~ ∃ m ∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m ~ \left|∑_{j=n}^{n+k} a_ k\right|{\lt}\varepsilon \\ ∀\varepsilon {\gt}0~ ∃ m∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m∀ k∈{\mathbb {N}}~ ~ ∑_{j=n}^{n+k} |a_ k| {\lt}\varepsilon \\ ∀\varepsilon {\gt}0~ ∀ k∈{\mathbb {N}}~ ∃ m∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m ~ ∑_{j=n}^{n+k} |a_ k|{\lt}\varepsilon \end{eqnarray}

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DX’]

E228

[0DY](Proposto il 2022-12-13) Trovate due successioni \((a_ n)_ n,(b_ n)_ n\) con \(a_ n,b_ n{\gt}0\) tali che \(∑_{n=0}^∞ (-1)^ n a_ n\) è convergente, \(∑_{n=0}^∞ (-1)^ n b_ n\) è non convergente, e \(\lim _{n→∞} a_ n/b_ n=1\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DZ’]

E228

[0F0]Note:Esame del 9 aprile 2011.Sia \((a_ n)\) una successione di numeri reali (non necessariamente positivi) tali che la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) converga ad \(a∈{\mathbb {R}}\); sia \(b_ n=\frac{a_ 1+\cdots +a_ n}{n}\); si mostri che se la serie \(∑_{n=1}^∞ b_ n\) converge allora \(a=0\).

E228

[0F2](Proposto il 2022-12) Trovare due esempi di \(a_{i,j}:{\mathbb {N}}× {\mathbb {N}}→ {\mathbb {R}}\)

  • tale che, per ogni \(i\), \(∑_ j a_{i,j} =0\), mentre per ogni \(j\), \(∑_ i a_{i,j} =∞\);

  • tale che, per ogni \(i\), \(∑_ j a_{i,j} =0\), mentre per ogni \(j\), \(∑_ i a_{i,j} =1\).

Riuscite a trovare esempi dove sia abbia inoltre che \(|a_{i,j}|≤ 1\) per ogni \(i,j\)? [UNACCESSIBLE UUID ’0F3’]

[0F4]Note:Compitino del 4 Apr 2009, ese 1.(Proposto il 2022-12-13) Data una successione \((a_ n)_{n}\) di numeri strettamente positivi, si dice che il prodotto infinito \(∏_{n=0}^∞ a_ n\) converge se esiste finito e strettamente positivo il limite dei prodotti parziali, cioè

\[ \lim _{N→+∞}∏_{n=0}^ Na_ n ∈ (0,+∞)\quad . \]

Si dimostri che

  1. se \(∏_{n=0}^∞ a_ n\) converge allora \(\lim _{n→+∞}a_ n=1\);

  2. se la serie \(∑_{n=0}^∞|a_ n-1|\) converge, allora converge anche \(∏_{n=0}^∞ a_ n\);

  3. trovate un esempio in cui la serie \(∑_{n=0}^∞(a_ n-1)\) converge ma \(∏_{n=0}^∞ a_ n=0\).

[0F5]Indichiamo con \({\mathcal P}_{\mathfrak f}({\mathbb {N}})\) l’insieme dei sottoinsiemi \(B⊆ {\mathbb {N}}\) che sono insiemi finiti. Questo è detto l’insieme delle parti finite.

Abbreviamo \({\mathcal P}={\mathcal P}_{\mathfrak f}({\mathbb {N}})\) nel seguito.

Data una successione \((a_ n)_ n\) di numeri reali e un \(B∈{\mathcal P}\) indichiamo con \(s(B)=∑_{n∈ B} a_ n\) la somma finita con indici in \(B\).

Supponiamo che la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converga ma non converga assolutamente. Allora:

  • \(\{ s(F ) : F ∈{\mathcal P}\} \) è denso in \({\mathbb {R}}\).

  • Esiste un riordinamento \(σ\) di \({\mathbb {N}}\), cioè una funzione bigettiva \(σ:{\mathbb {N}}→{\mathbb {N}}\), tale che l’insieme delle somme parziali \(∑_{n=0}^ N a_{σ(n)}\) (al variare di \(N\)) è denso in \({\mathbb {R}}\).

[UNACCESSIBLE UUID ’0F6’] [0F7]Note:Questo risultato è attribuito a Riemann , si veda 3.54 in [ 23 ] ..

Sia data una successione \((a_ n)_ n\) di numeri reali tale che \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converge (a un valore finito) ma \(∑_{n=0}^∞ |a_ n|=∞\); per ogni \(l,L\) con \(-∞ ≤ l ≤ L ≤ +∞\) esiste una permutazione \(𝜋:{\mathbb {N}}→{\mathbb {N}}\) tale che, posto \(S_ N=∑_{k=0}^ N a_{𝜋(k)}\), si ha che

\[ \limsup _{N→∞} S_ N= L \quad , \quad \liminf _{N→∞} S_ N= l \quad . \]

[0F8]Sia data una successione \((a_ n)_{n∈ {\mathbb {N}}}\) di numeri reali positivi tale che \(\lim _{n→∞} a_ n=0\) e \(∑_{n=0}^∞ a_ n=∞\): dimostrare che per ogni \(l ∈ {\mathbb {R}}\) esiste una successione \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈\{ 1,-1\} \) per ogni n, tale che

\[ ∑_{n=0}^∞ (ε_ n a_ n)=l\quad . \]

Se invece \(∑_{n=0}^∞ a_ n=S{\lt}∞\), cosa si può dire dell’insieme \(E\) delle somme \(∑_{n=0}^∞ (ε_ n a_ n)=l\), al variare di \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈\{ 1,-1\} \) per ogni n?

  • Analizzate i casi in cui \(a_ n=2^{-n}\) oppure \(a_ n=3^{-n}\)

  • Mostrate che \(E\) è sempre chiuso.

  • Sotto quali ipotesi si ha che \(E=[-S,S]\)?

Suggerimento. Sia \(\tilde E\) l’insieme delle somme \(∑_ n (ε_ n a_ n)=l\), al variare di \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈ \{ 0,1\} \) per ogni n; notate che \(\tilde E=\{ (S+x)/2 : x∈ E\} \). [0F9]Note:Compitino del 12 gen 2019.(Svolto il 2022-12-13) Mostrate che la seguente serie converge

\[ ∑_{n=1}^∞ \left(\frac{1⋅ 4⋅ 7⋅ 10 \cdots (3n-2)}{3⋅ 6⋅ 9 ⋅ 12 \cdots (3n)} \right)^ 2 \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0FB’] [21M](Proposto il 2022-12) Dire per quali \(𝛼{\gt}0,𝛽{\gt}0,𝛾{\gt}0\) si ha che

\[ ∑_{n=4}^∞\frac 1{n^𝛼 \, (\log n)^𝛽\, (\log (\log n))^𝛾} \]

converge. [23F](Proposto il 2022-12-13) Note:compitino 29 Gennaio 2021.Sia \(𝛼{\gt}0\). Dite (giustificando) per quali \(𝛼\) le seguenti serie convergono o divergono

  • \[ ∑_{n=1}^∞ \left({\sqrt[4]{n^ 8+n^𝛼} - n^ 2 }\right) \]
  • \[ ∑_{n=2}^∞ \left( \frac{1}{n^𝛼} - \frac{1}{n^𝛼+1} \right) \]
  • \[ ∑_{n=2}^∞ \frac{1}{(\log _ 2 n) ^{𝛼\log _ 2(n)}} \]

    dove i logaritmi sono in base 2.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’23G’] [20Z]Note:Compitino del 26 gen 2016. Sia

\[ z_ n = \frac{1⋅ 3⋅ 5⋅ 7 \cdots (2n-1)}{2⋅ 4⋅ 6⋅8 \cdots ~ (2n)} \quad ; \]

Mostrate che \(\lim _{n→∞} z_ n=0\) ma

\[ ∑_{n=1}^∞ z_ n=∞ \quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’213’] [210] Note:esercizio 2, compito 15 Gennaio 2014. Sia \((a_ n)_{ n ≥ 0}\) una successione di numeri reali positivi. Posto \(s_ n =∑_{i=0}^ n a_ i \) si mostri che:

  • la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converge se e solo se la serie \(∑_{n=0}^∞ a_{n}/s_ n\) converge;

  • la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n / (s_ n)^ 2\) converge.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’21K’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0DT’] [UNACCESSIBLE UUID ’0DV’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FC’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FD’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FF’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FG’] [UNACCESSIBLE UUID ’0DH’] Si veda anche l’esercizio 1.

Prodotto di Cauchy

Definizione 233

[0FH]Date due successioni \((a_{n})_ n\) e \((b_{n})_ n\) a valori reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la successione \((c_{n})_ n\) data da

\[ c_{n}{\stackrel{.}{=}}∑ _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\quad . \]

E233

[0FJ]Se \(\forall n\in {\mathbb {N}}, a_ n,b_ n≥ 0\) si mostri che

\[ ∑_{n=0}^∞ c_ n =∑_{n=0}^∞ a_ n ∑_{n=0}^∞ b_ n \]

con la convenzione che \(0⋅ ∞=0\).

E233

[0FK](Proposto il 2022-12-13) Se le serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) e \(∑_{n=0}^∞ b_ n\) convergono assolutamente, si mostri che la serie \(∑_{n=0}^∞ c_ n\) converge assolutamente e

\[ ∑_{n=0}^∞ c_ n =∑_{n=0}^∞ a_ n ∑_{n=0}^∞ b_ n\quad . \]
E233

[0FM] Prerequisiti:1.Note:Noto come: Teorema di Mertens..

Se la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converge assolutamente e \(∑_{n=0}^∞ b_ n\) converge, si mostri che la serie \(∑_{n=0}^∞ c_ n\) converge e

\[ ∑_{n=0}^∞ c_ n =∑_{n=0}^∞ a_ n ∑_{n=0}^∞ b_ n\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0FN’] [UNACCESSIBLE UUID ’218’]

[0FP] Si discuta il prodotto di Cauchy della serie \(∑_{n=0}^∞ \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}\) con se stessa. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0FQ’]

Si veda anche l’esercizio 1.