22.3 Discussioni qualitative
Per i successivi esercizi può essere utile il seguente semplice lemma di confronto.
[1R7]Sia
con
- E426
[1R8]Discutete le soluzioni di
Studiate in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1R9’][UNACCESSIBLE UUID ’1RB’]
- E426
[1RD] Si considera il problema di Cauchy
Mostrate che esiste unica la soluzione globale
, che è limitata e esistono finiti i limiti , .In viola tratteggiato la linea dei flessi. In giallo le soluzioni con dati iniziali
e .Figura 7 Esercizio 2. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RG’][UNACCESSIBLE UUID ’1RH’]
- E426
[1RK] Discutete l’equazione differenziale
per
, studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità. 1Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi.
Mostrate che per
la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi.Difficoltà:*.Mostrate che esiste un
critico tale che, per la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per si ha .In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. In giallo le soluzioni con dati iniziali
, , .Figura 8 Esercizio 3. Soluzioni per In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. Sono disegnate le soluzioni con dati iniziali
(“verde”), (“arancione”)e (“gialla”). Notate che queste ultime si differenziano solo per come dati iniziali, sono indistinguibili nel grafico per , ma poi per si allontanano velocemente, e per valgono rispettivamente e , con una differenza di circa !Figura 9 Esercizio 3. Soluzioni per Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RP’]
- E426
[1RQ] Note:Esercizio 4, compito 9 Luglio 2011.Si dimostri che il problema di Cauchy
ammette un’unica soluzione
, definita su tutto e tale che