22.3 Discussioni qualitative

[UNACCESSIBLE UUID ’1R6’]

Per i successivi esercizi può essere utile il seguente semplice lemma di confronto.

Lemma 426

[1R7]Sia U2 aperto, siano f,g:U continue con fg; sia I intervallo aperto con t0I, e siano x,w:I soluzioni di

x(t)=f(t,x(t)),w(t)=g(t,w(t))

con x(t0)w(t0): allora x(t)w(t) per tt0. Basta infatti notare che x(t)w(t) e dunque x(t)w(t) è crescente.

(Vi sono versioni molto più raffinate di questo lemma, si veda ad esempio nella sezione 8.6 negli appunti del corso [ 3 ] ).

E426

[1R8]Discutete le soluzioni di

{y(x)=(y(x)x)3y(0)=a  .

Studiate in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1R9’][UNACCESSIBLE UUID ’1RB’]

E426

[1RD] Si considera il problema di Cauchy

{y(x)=1y(x)2+x2y(0)=1

Mostrate che esiste unica la soluzione globale y:, che y è limitata e esistono finiti i limiti limxy(x), limxy(x).

\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/F/blob_zxx}

In viola tratteggiato la linea dei flessi. In giallo le soluzioni con dati iniziali y(0)=1 e y(0)=2.

Figura 7 Esercizio 2.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RG’][UNACCESSIBLE UUID ’1RH’]

E426

[1RK] Discutete l’equazione differenziale

{y(x)=1y(x)x2y(0)=a

per a0, studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità. 1

Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi.

Mostrate che per a>0 la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi.

Difficoltà:*.Mostrate che esiste un a~<0 critico tale che, per a~<a<0 la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per aa~ la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per a=a~ si ha limxy(x)x2=0.

\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/M/blob_zxx}

In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. In giallo le soluzioni con dati iniziali y(0)=2, y(0)=1, y(0)=1/1000.

Figura 8 Esercizio 3. Soluzioni per a>0

\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/N/blob_zxx}

In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. Sono disegnate le soluzioni con dati iniziali a=1,4 (“verde”), a=1,0188 (“arancione”)e a=1,019 (“gialla”). Notate che queste ultime si differenziano solo per 0,0002 come dati iniziali, sono indistinguibili nel grafico per x>1, ma poi per x<1 si allontanano velocemente, e per x=2 valgono rispettivamente 3,25696 e 2,54856, con una differenza di circa 0,7 !

Figura 9 Esercizio 3. Soluzioni per a<0

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RP’]

E426

[1RQ] Note:Esercizio 4, compito 9 Luglio 2011.Si dimostri che il problema di Cauchy

{y(x)=y(x)(y(x)x2)y(2)=1

ammette un’unica soluzione y=y(x), definita su tutto e tale che

limxy(x)=+,limxy(x)=0.

[UNACCESSIBLE UUID ’1RR’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1RS’]


  1. L’equazione differenziale è tratta dall’esercizio 13 in [ 2 ] .