22.3 Discussioni qualitative

[UNACCESSIBLE UUID ’1R6’]

Per i successivi esercizi può essere utile il seguente semplice lemma di confronto.

(Vi sono versioni molto più raffinate di questo lemma, si veda ad esempio nella sezione 8.6 negli appunti del corso [ 3 ] ).

E426

[1R8]Discutete le soluzioni di

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=(y(x)-x{)}^3\\ y(0)=a.\end{array}$$

Studiate in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1R9’][UNACCESSIBLE UUID ’1RB’]

E426

[1RD] Si considera il problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=\frac{1}{y(x{)}^2+x^2}\\ y(0)=1\end{array}$$

Mostrate che esiste unica la soluzione globale $y:ℝ\to ℝ$, che $y$ è limitata e esistono finiti i limiti $\underset{x\to \infty }{lim}y(x)$, $\underset{x\to -\infty }{lim}y(x)$.

In viola tratteggiato la linea dei flessi. In giallo le soluzioni con dati iniziali $y(0)=1$ e $y(0)=2$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RG’][UNACCESSIBLE UUID ’1RH’]

E426

[1RK] Discutete l’equazione differenziale

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=\frac{1}{y(x)-x^2}\\ y(0)=a\end{array}$$

per $a\ne 0$, studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità. ¹

Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi.

Mostrate che per $a>0$ la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi.

Difficoltà:*.Mostrate che esiste un $\tilde{a}<0$ critico tale che, per $\tilde{a}<a<0$ la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per $a\le \tilde{a}$ la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per $a=\tilde{a}$ si ha $\underset{x\to -\infty }{lim}y(x)-x^2=0$.

In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. In giallo le soluzioni con dati iniziali $y(0)=2$, $y(0)=1$, $y(0)=1/1000$.

In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. Sono disegnate le soluzioni con dati iniziali $a=-1,4$ (“verde”), $a=-1,0188$ (“arancione”)e $a=-1,019$ (“gialla”). Notate che queste ultime si differenziano solo per $0,0002$ come dati iniziali, sono indistinguibili nel grafico per $x>-1$, ma poi per $x<-1$ si allontanano velocemente, e per $x=-2$ valgono rispettivamente $3,25696$ e $2,54856$, con una differenza di circa $0,7$ !

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RP’]

E426

[1RQ] Note:Esercizio 4, compito 9 Luglio 2011.Si dimostri che il problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=y(x)(y(x)-x^2)\\ y(2)=1\end{array}$$

ammette un’unica soluzione $y=y(x)$, definita su tutto $ℝ$ e tale che

$$\underset{x\to -\infty }{lim}y(x)=+\infty ,\underset{x\to \infty }{lim}y(x)=0.$$

[UNACCESSIBLE UUID ’1RR’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1RS’]