22.3 Discussioni qualitative
Per i successivi esercizi può essere utile il seguente semplice lemma di confronto.
[1R7]Sia \(U⊆ ℝ^ 2\) aperto, siano \(f,g:U→ℝ\) continue con \(f≥ g\); sia \(I⊆ℝ\) intervallo aperto con \(t_ 0∈ I\), e siano \(x,w:I→ℝ\) soluzioni di
con \(x(t_ 0)≥ w(t_ 0)\): allora \(x(t)≥ w(t)\) per \(t≥ t_ 0\). Basta infatti notare che \(x'(t)≥ w'(t)\) e dunque \(x(t)-w(t)\) è crescente.
- E426
[1R8]Discutete le soluzioni di
\[ \begin{cases} y’(x)= (y(x)-x)^ 3\\ y(0)=a~ ~ . \end{cases} \]Studiate in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1R9’][UNACCESSIBLE UUID ’1RB’]
- E426
[1RD] Si considera il problema di Cauchy
\[ \begin{cases} y’(x) = \frac 1{y(x)^ 2+ x^ 2}\\ y(0)=1 \end{cases} \]Mostrate che esiste unica la soluzione globale \(y:ℝ→ℝ\), che \(y\) è limitata e esistono finiti i limiti \(\lim _{x→∞}y(x)\), \(\lim _{x→-∞}y(x)\).
![\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/F/blob_zxx}](images/img-0012.png)
In viola tratteggiato la linea dei flessi. In giallo le soluzioni con dati iniziali \(y(0)=1\) e \(y(0)=2\).
Figura 7 Esercizio 2. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RG’][UNACCESSIBLE UUID ’1RH’]
- E426
[1RK] Discutete l’equazione differenziale
\[ \begin{cases} y’(x)=\frac 1{y(x)-x^ 2}\\ y(0)=a \end{cases} \]per \(a≠ 0\), studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità. 1
Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi.
Mostrate che per \(a{\gt}0\) la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi.
Difficoltà:*.Mostrate che esiste un \(\tilde a{\lt}0\) critico tale che, per \(\tilde a{\lt}a{\lt}0\) la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per \(a≤ \tilde a\) la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per \(a=\tilde a\) si ha \(\lim _{x→-∞} y(x)-x^ 2=0\).
![\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/M/blob_zxx}](images/img-0013.png)
In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. In giallo le soluzioni con dati iniziali \(y(0)=2\), \(y(0)=1\), \(y(0)=1/1000\).
Figura 8 Esercizio 3. Soluzioni per \(a{\gt}0\) ![\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/N/blob_zxx}](images/img-0014.png)
In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. Sono disegnate le soluzioni con dati iniziali \(a=-1,4\) (“verde”), \(a=-1,0188\) (“arancione”)e \(a=-1,019\) (“gialla”). Notate che queste ultime si differenziano solo per \(0,0002\) come dati iniziali, sono indistinguibili nel grafico per \(x{\gt}-1\), ma poi per \(x{\lt}-1\) si allontanano velocemente, e per \(x=-2\) valgono rispettivamente \(3,25696\) e \(2,54856\), con una differenza di circa \(0,7\) !
Figura 9 Esercizio 3. Soluzioni per \(a{\lt}0\) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1RP’]
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[1RQ] Note:Esercizio 4, compito 9 Luglio 2011.Si dimostri che il problema di Cauchy
\[ \begin{cases} y’(x) = y(x)\big( y(x)-x^ 2\big) \\ y(2)=1 \end{cases} \]ammette un’unica soluzione \(y = y(x)\), definita su tutto \(ℝ\) e tale che
\[ \lim _{x→−∞} y(x) = +∞ \quad ,\quad \lim _{x→∞} y(x) = 0 \quad . \]