23.5 Equazioni lineari (a coefficienti costanti)

Definizione 438

[23Z]Indichiamo formalmente con \(D\) l’operazione “calcolo della derivata”. Dato un polinomio \(p(x)\)

\[ p(x)=a_ n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{1} x + a_ 0 \]

(che ha coefficienti \(a_ i∈ℂ\), costanti) costruiamo formalmente l’operatore lineare

\[ p(D)=a_ n D^{n} + a_{n-1} D^{n-1} + \dots a_{1} D + a_ 0 \]

che trasforma una funzione \(f:ℝ→ℂ\) di classe \(C^{n+k}\) nella funzione \(p(D) f\), di classe almeno \(C^ k\), definita puntualmente da

\[ [p(D) f] (x) {\stackrel{.}{=}}a_ n f^{(n)}(x) + a_{n-1} f^{(n-1)}(x) + \dots a_{1} f'(x) + a_ 0 f(x)\quad . \]

E438

[1SC] Dati due polinomi \(p(x),q(x)\) e il polinomio prodotto \(r(x)=p(x)q(x)\), mostrate che \(p(D) [q(D) f ] = r(D) f\)

E438

[1SD] Posta \(f(x) = e^{𝜆 x}\), notate che

\[ [p(D) f ](x) = p(𝜆) f(x) \quad . \]

Possiamo dunque considerare gli esponenziali \(e^{𝜆 x}\) come autovettori di \(p(D)\), con autovalore \(p(𝜆)\).

E438

[1SF] Sia \(f:ℝ→ℂ\) una funzione di classe \(C^ n\), sia \(𝜃∈ℂ\) costante e sia \(g(x)= e^{𝜃 x}f(x)\). Mostrate che, se \(p\) è un polinomio e \(q(x)=p(x+𝜃)\), allora

\[ p(D) g = e^{𝜃 x} [q(D) f] \quad . \]

Notate che possiamo scrivere la relazione anche come un “coniugio”

\[ e^{-𝜃 x} \big[p(D) [ e^{𝜃 x} f ]\big] = p(D+𝜃) f ~ . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SG’]

E438

[1SH] Prerequisiti:3.Dati \(𝜃∈ℂ\) e \(k∈ℕ\), posto \(p(x)=(x-𝜃)^ k\), mostrate che \(p(D)f=0\) se e solo se \(f(x)=e^{𝜃 x}r(x) \) con \(r\) polinomio di grado al più \(k-1\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SJ’]

E438

[1SK] Prerequisiti:1, 3.

Siano dati \(𝜃,𝜏∈ℂ\) con \(𝜃≠ 𝜏\), \(q(x)\) un polinomio, e \(k∈ℕ\); poniamo \(p(x)=(x-𝜃)^ k\). Mostrate che

\[ p(D)f(x)=e^{𝜏 x}q(x) \]

se e solo se

\[ f(x)=e^{𝜃 x} r(x) + e^{𝜏 x} \tilde q(x) ~ , \]

con \(r\) polinomio di grado al più \(k-1\) e \(\tilde q\) polinomio dello stesso grado di \(q\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SM’]

E438

[1SN]Dati \(a_ 0\ldots a_{n}∈ℂ\) costanti, con \(a_ n≠ 0\), e posto \(p(x)=a_ n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_{1} x + a_ 0\), descrivete tutte le possibili soluzioni \(f\) di

\[ p(D) f = 0~ . \]

Mostrate che lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale (basato sul campo \(ℂ\) dei numeri complessi) di dimensione \(n\).

( Sugg. fattorizzate il polinomio e sfruttate gli esercizi precedenti. ).

E438

[1SP]Prerequisiti:6.Con \(p\) come sopra, analizzate inoltre il problema

\[ p(D) f = e^{𝛼 x} \]

(con \(𝛼∈ℂ\) costante).

Cosa succede quando \(𝛼\) si avvicina a una radice del polinomio \(p\)?

[UNACCESSIBLE UUID ’1SQ’][1SR]Dati i parametri \(y_ 0,\ldots ,y_{n-1}∈ℂ\), e anche \(𝛼∈ℂ\), la soluzione del problema di Cauchy

\[ \begin{cases} p(D) f = e^{𝛼 x} \\ f(0)=y_ 0,\\ \ldots \\ f^{n-1}(0)=y_{n-1} \end{cases} \]

esiste per tutti i tempi, e dipende con continuità dai parametri \(𝛼,y_ 0,\ldots ,y_{n-1}∈ℂ\).

E438

[1SS]Data \(h=h(x)\), e \(𝜃∈ℝ\), risolvete le equazioni differenziali

\[ (D-𝜃) f (x) = h (x) \]
\[ (D-𝜃)^ 2 f (x) = h (x) \]
\[ (D^ 2+𝜃^ 2) f (x) = h (x) \]
\[ (D^ 2-𝜃^ 2) f (x) = h (x) \]

e i casi particolari

\[ (D-1) f (x) = x^ k \]
\[ (D-𝜃) f (x) = e^{𝛼 x} \]

(con \(𝛼∈ℂ\), e \(k∈ℕ\), costanti).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SV’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1ST’]