12.2 Funzioni regolate[2CT]

(Si noti in particolare che ogni funzione monotona è regolata, e ogni funzione continua è regolata.)

E347

[142] Si mostri che una funzione regolata $f:[a,b]\to ℝ$ è limitata.

E347

[143]Prerequisiti:9. Sia $I=[a,b]$ intervallo chiuso e limitato. Si mostri che

• $f:[a,b]\to ℝ$ è regolata se e solo se

• per ogni $\epsilon >0$ esiste un insieme finito di punti $P\subset I$ tale che, per ogni $J\subseteq I$, $J$ intervallo aperto che non contiene alcun punto di $P$, si ha che l’oscillazione di $f$ in $J$ è minore di $\epsilon$.

E347

[144] Sia $V$ l’insieme delle funzioni $f:[a,b]\to ℝ$ costanti a tratti, che è lo spazio vettoriale generato dalle funzioni caratteristiche ${\mathbb{1}}_J$ degli intervalli $J\subseteq I$. Si mostri che la chiusura di $V$ secondo la convergenza uniforme coincide con lo spazio delle funzioni regolate.

Dunque lo spazio delle funzioni regolate dotato della norma $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ è uno spazio di Banach.

Si vedano anche gli esercizi 4, 4, 4 e 5.