22.1 Problemi autonomi

E417

[1QR] Prerequisiti:3.Siano dati $x_0,t_0\in ℝ$ fissati e $f:ℝ\to ℝ$ funzione limitata e continua con $f(x_0)=0$ ma $f(x)>0$ per $x\ne x_0$. Vogliamo studiare il problema autonomo

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=f(x(t)),\\ x(t_0)=x_0.\end{array}$$

Notate che $x\equiv x_0$ è una possibile soluzione. Mostrate che se, per $\epsilon >0$ piccolo,  ¹

$$\begin{array}{r}{\int }_{x_0}^{x_0+𝜀}\frac{1}{f(y)}\mathbb{d}y=\infty \\ {\int }_{x_0-\epsilon }^{x_0}\frac{1}{f(y)}\mathbb{d}y=\infty \end{array}$$

allora $x\equiv x_0$ è l’unica soluzione; mentre in caso contrario esistono molte soluzioni di classe $C^1$: descrivetele tutte.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1QS’]

Le condizioni ?? e ?? sono un caso particolare della condizione di unicità di Osgood, si veda Problem 2.25 in [ 26 ] .

E417

[1QV] Sia $𝛼>1$ e si consideri l’equazione

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=|x(t){|}^{𝛼},\\ x(t_0)=x_0\end{array}$$

con $x_0,t_0\in ℝ$ fissati. Mostrate che si ha esistenza e unicità della soluzione; calcolate l’intervallo massimale di definizione; usate il metodo di separazione delle variabili per calcolare esplicitamente le soluzioni. (Essendo la equazione autonoma, si potrebbe assumere che $t_0=0$, ma l’esempio risulta forse più chiaro con un $t_0$ generico).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1QW’]

E417

[1QX]Cosa succede nell’esercizio precedente nel caso $𝛼\in (0,1)$?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1QY’]

E417

[1QZ] Prerequisiti:2.Sia $𝛼>1$ e si consideri di nuovo

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=|x(t){|}^{𝛼},\\ x(0)=1\end{array}$$

abbiamo visto in 2 che questo ammette una soluzione massimale $x:I_{𝛼}\to ℝ$. Fissato $t\in ℝ$ mostrate che si ha $t\in I_{𝛼}$ per $𝛼>1$ vicino a $1$, e che $\underset{𝛼\to 1+}{lim}x(t)=e^t$.

Notate che $e^t$ è la unica soluzione di $x^{\prime }(t)=|x(t)|$ con $x(0)=1$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1R0’]