17.2 Sviluppo di Taylor[2D2]
[1FB]Sia \(a∈\overlineℝ\) e \(I\) un intorno di \(a\). Siano \(f,g:I→ℝ\). Diremo che “\(f(x)=o(g(x))\) per \(x\) tendente ad \(a\)” se 1
Questa notazione si legge come “f è o piccolo di g”.
Se \(g(x)≠ 0\) per \(x≠ a\), allora equivalentemente si può scrivere
Diremo che “\(f(x)=O(g(x))\) per \(x\) tendente ad \(a\)” se se esistono una costante \(c{\gt}0\) e un intorno \(J\) di \(a\) per cui \(∀ x∈ J, |f(x)|≤ c |g(x)|\).
Di nuovo, se \(g(x)≠ 0\) per \(x≠ a\), allora equivalentemente si può scrivere
Questa notazione si legge come “f è O grande di g”.
Per maggiori informazioni, e altre notazioni, si veda [ 52 ] .
Nel seguito per semplicità consideriamo solo il caso in cui \(\lim _{x→ a}g(x)=0\); inoltre negli sviluppo di Taylor si ha sempre che \(g(x)=(x-a)^ n\) con \(n≥ 1\) intero. 2
[1FC]Attenzione! I simboli “o piccolo” e “O grande” sono usati in modo diverso da altri simboli della Matematica. Infatti essi possono rappresentare funzioni diverse, anche nello stesso contesto! Ad esempio se scriviamo
i due simboli “\(o(x)\)” a destra e a sinistra rappresentano funzioni diverse. Particolare cura dunque va messa nel mostrare le proprietà usate nel calcolo. Quando sono presenti molti tali simboli, è preferibile sostituirli con altri simboli di funzioni, come si vede negli esempi successivi.
Vediamo due esempi. Sia \(a=0\) per semplicità.
[1FD]Enunciamo in maniera informale questa proprietà.
Per dimostrarla la convertiamo in un enunciato preciso. Innanzitutto la riscriviamo così.
Dunque la dimostriamo. Come ipotesi abbiamo che
allora
[1FF]Enunciamo in maniera informale questa seconda proprietà
La riscriviamo così.
Notiamo che, per \(x≠ 0\) piccolo, \(x^ n+f(x)\) è non nullo, in quanto esiste un intorno in cui \(|f(x)|≤ |x^ n/2|\). Come ipotesi abbiamo che \(\lim _{x→ 0}f(x)x^{-n}=0\) e \(\lim _{x→ 0}g(x)/(x^ n+f(x))=0\) allora
ma
mentre
- E393
[1FG] Sia \(a=0\) per semplicità. Riscrivete le successive relazioni e dimostratele.
Se \(n≥ m≥ 1\) allora
\[ O(x^ n)+O(x^ m) = O(x^ m), \quad o(x^ n)+O(x^ m) = O(x^ m),\quad x^ n+O(x^ m) = O(x^ m)\quad . \]Se \(n{\gt} m≥ 1\) allora
\[ O(x^ n)+o(x^ m) = o(x^ m),\quad x^ n+o(x^ m) = o(x^ m). \]Per \(n,m≥ 1\)
\begin{eqnarray*} x^ n O(x^ m)& =& O(x^{n+m})\\ x^ n o(x^ m)& =& o(x^{n+m})\\ O(x^ n) O(x^ m)& =& O(x^{n+m})\\ o(x^ n) O(x^ m)& =& o(x^{n+m}) \end{eqnarray*}- \[ ∫_ 0^ y O(x^ n)\, {\mathbb {d}}x=O(y^{n+1}) \quad ∫_ 0^ y o(x^ n)\, {\mathbb {d}}x=o(y^{n+1}) \quad . \]
|
\(f(x)\) |
= |
\(p(x) + o(x^ 4)\) |
|
|
\((\cos (x))^ 2\) |
= |
\(+o(x^ 4)\) |
|
|
\((\cos (x))^ 3\) |
= |
\(+o(x^ 4)\) |
|
|
\(\cos (x)e^ x\) |
= |
\(+o(x^ 4)\) |
|
|
\(\cos (\sin (x))\) |
= |
\(+o(x^ 4)\) |
|
|
\(\sin (\cos (x))\) |
= |
\(+o(x^ 4)\) |
|
|
\(\log (\log (e+x))\) |
= |
\(+o(x^ 3)\) |
|
|
\((1+x)^{1/x}\) |
= |
\(+o(x^ 3)\) |
(Per sviluppare gli ultimi due sarà necessaria un po’ di fantasia; per ridurre i conti, si sviluppino gli ultimi due solo fino a \(o(x^ 3)\)).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1FK’] [1FM]Si trovi un’ approssimazione razionale di \(\cos (1)\) con errore minore di \(1/(10!) ∼ 2.10^{-7}\) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1FN’] [1FP]Si scriva lo sviluppo di Taylor di \((1+x)^𝛼\) con \(𝛼 ∈ ℝ ⧵ ℕ\). (Se ne deduca una generalizzazione del simbolo binomiale \(\binom 𝛼 k \)). La serie di Taylor costruita con questi coefficienti è a volte detta serie binomiale, e converge per \(|x|{\lt}1\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1FQ’] [1FR] Prerequisiti:374.Note:Da un idea nel libro di Apostol [ 4 ] , Capitolo 7.3.Scrivere lo sviluppo di Taylor (intorno a \(x_ 0 = 0\)) per \(-\log (1 - x)\) integrando
e confrontare il “resto”
così ottenuto con il “resto integrale” di \(f(x) = -\log (1 - x)\) (come presentato in esercizio 374).
Procedere similmente per \(\arctan (x)\) integrando
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1FS’] [1FT]Prerequisiti:374,4.Difficoltà:.Valutare per quali \(r {\gt} 0\) si ha che il resto di Taylor di \(f (x) = - \log (1 - x)\) è infinitesimo in \(n\), uniformemente per \(|x| {\lt} r\); questo, usando il resto visto in ??, usando il resto integrale oppure usando il resto di Lagrange.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1FV’]
Si veda anche l’esercizio 374.