: Curve chiuse

21.1 Curve chiuse

Aggiungiamo altre definizioni a quelle già viste in 415.

Definizione 418

[1PB]Sia \((X,d)\) uno spazio metrico. Sia \(I=[a,b]⊆ {\mathbb {R}}\) un intervallo chiuso e limitato. Sia \(𝛾:I\to X\) una curva parametrica.

Se \(𝛾(a)=𝛾(b)\) si dice che la curva è chiusa;
inoltre si dice che la curva è semplice e chiusa se \(𝛾(a)=𝛾(b)\) e \(𝛾\) è iniettiva quando ristretta a \([a,b)\). ¹
Se \(X={\mathbb {R}}^ n\) e \(𝛾\) è di classe \(C^ 1\) e è chiusa, si assume ulteriormente che \(𝛾'(a)=𝛾'(b)\).

E418

[1PC] Consideriamo i sottoinsiemi del piano delle seguenti figure 5: quali possono essere sostegno di una curva semplice? oppure di una curva chiusa semplice? oppure unione di sostegni di due curve semplici (possibilmente chiusi)? (Dimostrate le vostre affermazioni.)

\includegraphics[width=\textwidth ]{UUID/1/P/D/blob_zxx} — Figura 5 Insiemi dell’esercizio 1

E418

[1PF] Sia \(𝛾:[0,1]\to X\) una curva chiusa, mostrate che ammette un’ estensione \(\tilde𝛾:{\mathbb {R}}\to X\) continua e periodica di periodo \(1\).

E418

[1PG] Sia \(𝛾:[0,1]\to {\mathbb {R}}^ n\) una curva chiusa di classe \(C^ 1\), mostrate che ammette un’ estensione \(\tilde𝛾:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}^ n\) periodica di periodo \(1\) e di classe \(C^ 1\).

E418

[1PH] Useremo le definizioni e i risultati della Sezione 10.15, in particolare 5.

Data \(\tilde𝛾:ℝ→ X\) continua e periodica di periodo \(1\), possiamo definire la mappa \(\hat𝛾:S^ 1→ X\) tramite la relazione

\[ \hat𝛾\Big( (\cos (t),\sin (t))\Big)=\tilde𝛾(t)~ ~ . \]

Mostrate che questa è una buona definizione, e che \(\hat𝛾\) è continua.

Usate l’esercizio 3 per mostrare che ogni arco semplice chiuso, se visto equivalentemente come mappa \(\hat𝛾:S^ 1→ X\), è un omeomorfismo con la sua immagine.

[UNACCESSIBLE UUID ’1PJ’]

Nel seguito useremo mappe periodiche per rappresentare le curve chiuse.

E418

[1PK]Adattate la nozione di equivalenza 416 al caso di archi semplici e chiusi, vedendoli però come mappe \(𝛾:{\mathbb {R}}→ X\) continue e periodiche di periodo \(1\); quali ipotesi richiediamo alle mappe \(𝜑:{\mathbb {R}}→{\mathbb {R}}\)?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1PM’]

E418

[1PN]Prerequisiti:416,2.Siano \(𝛾,𝛿\) curve chiuse, ma viste come mappe definite su \(ℝ\) e continue e periodiche di periodo \(1\).

Vediamo una nuova relazione: si ha \(𝛾∼_ f𝛿\) sse esiste un omeomorfismo crescente \(𝜑:ℝ→ℝ\) tale che \(𝜑(t+1)=𝜑(t)+1\) per ogni \(t∈ℝ\) e per cui \(𝛾=𝛿 ◦𝜑\)

Mostrate che questa è una relazione di equivalenza.

Confrontatela con la relazione \(∼\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1PP’]

E418

[1PQ]Prerequisiti:417,3.Siano \(𝛾,𝛿\) curve chiuse e immerse, ma viste come mappe definite su \(ℝ\) e \(C^ 1\) e periodiche di periodo \(1\).

Vediamo una nuova relazione: si ha \(𝛾≈_ f𝛿\) sse esiste un diffeomorfismo crescente \(𝜑:ℝ→ℝ\) tale che \(𝜑(t+1)=𝜑(t)+1\) per ogni \(t∈ℝ\) e per cui \(𝛾=𝛿 ◦𝜑\)

Mostrate che questa è una relazione di equivalenza.

Confrontatela con la relazione \(≈\).

E418

[1PR]Prerequisiti:417,3,3.Date un semplice esempio di curve chiuse immerse per cui si ha \(𝛾≈_ f𝛿\) ma non \(𝛾≈𝛿\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1PS’]

E418

[1PT] Prerequisiti:3.Difficoltà:*.

Siano \(𝛾,𝛿: S^ 1→ℝ^ n\) curve chiuse semplici e immerse e con lo stesso sostegno; poniamo \(\hat𝛾(t)=𝛾(-t)\): mostrate che o \(𝛾≈_ f𝛿\) oppure \(\hat𝛾≈_ f𝛿\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1PV’]

Altri esercizi riguardo alle curve sono 2, 8, 4 e 4; si veda inoltre la Sezione 23.4.