23.6 Equazioni matriciali

Per risolvere i seguenti esercizi bisogna conoscere le proprietà elementari dell’esponenziale di matrici, si veda in sezione 19.3.

E442

[1SW]Prerequisiti:4,3, Sezione  19.3.

Date \(A,C∈ ℂ^{n× n}\) e \(F:ℝ→ℂ^{n× n}\) funzioni continue a valori matrici, risolvete l’equazione differenziale

\[ X'=AX+F~ ~ , X(0)=C~ ~ , \]

dove \(X:ℝ→ℂ^{n× n}\).

( Sugg.: usate il metodo di variazione delle costanti: sostituite \(Y(t)=\exp (-tA)X(t)\) )

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SX’]

E442

[1SY]Prerequisiti:4,3, Sez. 19.3.Difficoltà:*.

Date matrici \(A,B,C∈ ℂ^{n× n}\), risolvete l’equazione differenziale

\[ X'=AX+XB~ ~ , X(0)=C~ ~ , \]

dove \(X:ℝ→ℂ^{n× n}\)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SZ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1T0’]

[1T1] Prerequisiti:2,2.Difficoltà:*.

Sia \(V=ℂ^{n× n}\) lo spazio delle matrici, lo dotiamo di una norma \(\| C\| _ V\) submoltiplicativa. Sia \(C∈ V\) e siano \(A,B:ℝ→ V\) curve continue nello spazio delle matrici.

  • Definite ricorsivamente \(Q_ 0=C\), e

    \[ Q_{n+1}(s)=∫_ 0^ s A(𝜏) Q_ n(𝜏)B(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏\quad ; \]

    mostrate che la serie

    \[ Y(t)=∑_{n=0}^∞ Q_ n(t) \]

    è ben definita, mostrando che, per ogni \(T{\gt}0\), converge totalmente nello spazio delle funzioni continue \(C^ 0=C^ 0([-T,T]→ V)\), dotato della norma

    \[ \| Q\| _{C^ 0}{\stackrel{.}{=}}\max _{|t|≤ T} \| Q(t)\| _ V \quad . \]

  • Mostrate che la funzione appena definita è la soluzione dell’equazione differenziale

    \[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} Y(t) = A(t) Y(t) B(t)~ ~ ~ ,~ ~ ~ Y(0)=C~ ~ . \]

  • Nel caso in \(A,B\) siano costanti, notate che

    \[ Y(t)=∑_{n=0}^∞ t^ n \frac{A^ n C B^ n}{n!}\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1T2’] [1T3] Prerequisiti:2,3.Note:Identità di Abel.

Siano date \(C∈ ℂ^{n× n}\), \(A:ℝ→ℂ^{n× n}\) continua, e la soluzione \(Y(t)\) dell’equazione differenziale

\[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} Y(t) = A(t) Y(t)~ ~ ~ ,~ ~ ~ Y(0)=C \]

(che è stata studiata in 2). Posto \(a(t)={\operatorname {tr}}(A(t))\), mostrate che

\[ \det (Y(t)) = \det (C) e^{∫_ 0^ t a(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏 } \quad . \]

Se \(C\) è invertibile se ne deduce che \(Y(t)\) è sempre invertibile.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1T4’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1T5’] [1T6]Prerequisiti:4,3,2.

Siano date \(C∈ ℂ^{n× n}\), \(F,A:ℝ→ℂ^{n× n}\) continue, e la soluzione \(Y(t)\) della equazione differenziale

\[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} Y(t) = A(t) Y(t)~ ~ ~ ,~ ~ ~ Y(0)=\mathrm{Id}~ ~ . \]

Risolvete la equazione

\[ X'=AX+F~ ~ , X(0)=C~ ~ , \]

dove \(X:ℝ→ℂ^{n× n}\), usando \(Y(t)\) come funzione ausiliaria.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1T7’]